Katılarda Boyutlar Arası İlişkiler ve Dayanıklılık



Bu ünitede, katılar maddeleri belli bir oranda büyüttüğümüz de kesit alanları, yüzey alanları ve hacimlerinin kaç kat büyüdüğünü hesaplayacağız. Canlıların çeşitli özellik ve ihtiyaçları ile bu değerler arasında nasıl bir ilişki olduğunu, sıvılarda adezyon, kohezyon, yüzey gerilimini ve kılcallık olaylarını tanıyacak, güncel olaylarla ilişkilerini kuracağız. Bir gaz olarak atmosferin nasıl oluştuğunu birlikte açıklayacağız. Soğuk ve sıcak plazmayı günlük yaşamdan örneklerle tanımlayacağız.

9. sınıfta düzgün geometrik şekilli cisimlerin alan, hacim hesaplamalarında kullanılan matematiksel ifadeleri öğrenmiştik. Bu ünitede kullanacağımız, sembolleri ve matematiksel ifadeleri aşağıdaki tabloda göreceksiniz.



Yarıçapı 10 cm, yüksekliği 20 cm olan silindirin, yüksekliğini 10 cm arttırdığımızda değişen yüzölçümü, kesit alanı, hacim, kesit alanı/hacim ve yüzey alanı/hacim değerlerini birlikte inceleyelim.
Verilen değerlerden;
Birinci durumdaki yüzölçümü = 1800 cm² ( pi 3 alınmıştır. )
İkinci durumdaki yüzölçümü = 2400 cm²

Birinci durumdaki kesit alanı = 300 cm²
İkinci durumdaki kesit alanı = 300 cm²

Birinci durumdaki hacim = 6000 cm³
İkinci durumdaki hacim = 9000 cm³

Birinci durumdaki kesit alanı/ hacim = 300 cm²/ 6000 cm³
= 1/20 cm
İkinci durumdaki kesit alanı/ hacim = 300 cm²/9000 cm³
= 1/30 cm

Birinci durumdaki yüzey alanı/ hacim = 2/6000 cm³ = 1/3000 cm³
İkinci durumdaki yüzey alanı/ hacim = 2 / 9000 cm³ = 1/4500 cm³ .
Bulduğumuz değerleri anlamlandırmaya çalışalım. Hepinizin “ Bu işlemler ne işimize yarayacak?” dediğini duyar gibiyim.




Bazı filmlerde insandan büyük karıncalar veya örümcekler görebiliyoruz. On katlı bina büyüklüğünde goril görebiliyor, devlerin ne kadar güçlü olduklarını masallardan okuyoruz. Jonathan Swift’in yazmış olduğu; Güliver’in Gezileri masalında sözü edilen küçük insanlar ve devler acaba masalda davrandıkları gibi davranabilirler mi? Bunlar bilimsel olarak doğru olabilir mi? Acaba eski zamanlarda böyle canlılar var mıydı? Veya gelecekte olabilir mi?
Yukarıda yaptığımız basit bir takım işlemlerin, bu sorulara cevap oluşturacaklarını beklide hiç düşünmemiştiniz.
Düşsel gezginci Lemuel Gulliver, tüm insanları, hayvanları, ağaçları ve otları dünyamızdakine benzeyen, yalnız dünyamızdakinden ortalama 10 kez daha küçük olan Lilliput krallığı denen ülkede oldukça hareketli bir süre geçirmiştir. Lilliputların boyları ortalama olarak 20 cm ( kitaba göre 15 cm ) ve aynen bizim yapımızdadır. Gulliver, insanları tamamen bize benzeyen, fakat 10 kez daha uzun olan devler ülkesi Brobdingnag’ı da ziyaret etti. Swift’in anlattığı gibi her iki krallıktaki hayat bizimkinin aynıydı ( on sekizinci yüzyıl ). Yazarın insanların davranışlarına ilişkin yorumu bugün bile okunmaya değer. Fakat bu boyuttaki insanların onun anlattığı gibi olmayacağını göreceğiz.

Swift’ten çok önce yaşayan Galileo çok büyük ve çok küçük insan modellerinin niçin bizim gibi olamayacağını anlamıştı, fakat açıkça görülüyor ki, Dean Swift Galileo’nun yazdıklarını hiç okumamıştır. Galileo’nun “ İki Yeni İlim ” adlı kitabının kahramanlarından biri “ madem ki geometride sadece büyüklük, şekli belirlemiyor; daire, üçgen, silindir, koni gibi şekillerin ya da başka katı cisimlerin özelliklerinin büyüklükleriyle değişebileceğini kabul etmiyorum” der. Fakat onun fizikçi arkadaşı “ çoğunluğun düşüncesi burada kesinlikle yanlıştır ” der.
Bunun niçin böyle olduğunu görelim.
İşe, bir ipin sağlamlığı ile başlayalım. Bir adam bir ipi belirli bir kuvvetle çekerse onu koparabilir. Bu cins iki ip, iki adamın çekmesine dayanır. İki ince ipin birleşmesinden oluşan kesitte ince ipliktekinin iki katı iplik bulunur ve iki ip yerine geçer. Bakalım;

İpin boyu 50 cm, yarıçapı 1 cm olsun. Yukarıdaki matematiksel ifadeden yararlanarak önce bir ipin kesit alanını hesapladığımızda; kesit alanı bir ip için 3 cm², iki ip içinse 6 cm² olacaktır.

Başka bir deyimle bir teli ya da ipi koparmak için gereken kuvvet onun kesiti ile ya da çapının karesi ile orantılıdır.
Bir ip için çapın karesi 4cm², iki ip için; 4 cm² + 4 cm² = 8 cm² olacaktır. Bir ipi koparmak için bir birim kuvvet kullanırken, iki ip için bunun 2 katını kullanmamız gerekmektedir.
Deney ve teori bu sonucun doğruluğunu gösterir. Bundan başka aynı bağlılık yalnız ipler ve çekilen kablolar için değil, kemerleri taşıyan sütunlar ya da direkler için de doğrudur. Bir sütunun taşıdığı kemer veya kubbenin ağırlığı sütunun kesiti ile doğru orantılıdır.
İnsan ya da hayvan vücudu iskelet dediğimiz sistemi veren birçok sütun ve direkler üzerinde kurulmuş, kaslar ve sinirler dediğimiz çeşitli askı ve kablolarla desteklenmiştir. Vücudumuzun ağırlığı et ve kemik miktarları ile orantılıdır. Yani ağırlığımız vücudumuzun hacmi ile orantılıdır.
( Merak edip hesaplama yapmak isteyen öğrenciler, kemikleri silindir şeklinde kabul edebilirler. )
Şimdi, Gulliver’in kendisinden 10 kez daha uzun bir Brobdingnag dev adamı ile karşılaştıralım. Devin yapısı tümü ile Gulliver’in aynı olduğundan onun her uzunluğu Gulliver’in karşıt uzunluğunun on katıdır. Devin ve Gulliver’in vücutları şekil ve kesit bakımından tamamen benzerdir. Devin, sütun ve askılarının dayanıklılığı kesitleri ile, bu da uzunluğun karesi ile orantılı olduğundan kemikleri Gulliver’inkinden 10²= 100 kez daha dayanıklı olacaktır. Ağırlığı da hacmi ile orantılı olduğundan bu da boyunun uzunluğunun küpü ile 10³ = 1000 kez daha büyük olacaktır. O halde devin dayanıklılığının ağırlığına oranı bizimkinin 1/10’u kadar olacaktır. O zaman kendisini taşımakta bizim sırtımızda 9 adam taşıdığımız zaman çektiğimiz sıkıntıyı çeker.
Doğal olarak gerçekte ne Lilliput ne de Brobdingnag vardır. Gelecekte de olamazlar.
ÖRNEK:
Yarıçapı 10 cm olan kürenin, yoğunluğu 2 gr/cm³. Kürenin yarıçapını iki katına çıkardığımızda , kürenin ağırlığı, birinci ağırlığının kaç katı olur? ( g= 10 m/s² )
ÇÖZÜM:
d = m / V den ; m = 2 gr/cm³ x 4000 cm³ = 8000 gr
G = m.g ‘ den G = 8000 gr x 10 m/s² = 8 kg x 10 m/s² = 80 N birinci ağırlık,

D = m/V den ; m = 2 gr/ cm³ x 32000 cm³ = 64000 gram
G = m.g ‘ den G = 64000 gr x 10 m/s² = 64 kg x 10 m/s² = 640 N ikinci ağırlık,

640 N / 80 N = 8 kat ağırlığı fazlalaşmıştır.
SORU
Kendinizi bir silindir gibi düşündüğünüzde, boyunuzun uzunluğu sabit kalmak koşulu ile belinizin kalınlığı iki katına çıktığında, ağırlığınız, birinci ağırlığınızın kaç katı olur?

1.1. Kesit alanının dayanıklılık ile ilişkisi irdelenir.

Bir fil çok büyük olduğundan bacakları çok fazla kalındır. Hayvanların en büyüğü olan balina bir filden kırk kez ağır olmasına rağmen, balinanın kemikleri bu oranda kalın değildir. Balina su tarafından kaldırıldığı için kemiklerinin dayanıklılığı yeter derecededir. Fakat karaya vurmuş bir balinanın hali ne olur? Kaburga kemikleri dayanamaz, kırılır. Eski dinozorlar, balina büyüklüğünde olan hayvanlardı. Acaba, bunlar bu değerlerle nasıl yaşadılar? ( Meraklısı hesaplama yapabilir. )

1.2. Karıncanın, vücut ağırlığının birkaç katı ağırlığındaki yükleri kaldırabileceği; karıncayı orantılı olarak insan kadar büyütecek olsak ağırlığını bile kaldıramayacağı vurgulanır.

Dayanıklılık = k ( kalınlık ) ²


1.3. Dikdörtgen prizma, silindir ve kürenin yüzey alanlarının hacimlerine oranları ve en düşük oranın ise kürede olduğu verilir. Küçük cisimlerin birim kütlesine düşen yüzey alanının, büyük cisimlere göre daha fazla olduğu verilir. Yani bir kilogram büyük patatesle, bir kilogram küçük patates soyulduğunda, küçük patatesten daha fazla kabuk çıkacağı vurgulanır.

Dikdörtgen prizma, silindir ve kürenin yüzey alanlarının hacimlerine oranlarını birlikte hesaplamaya çalışalım.

Uzun kenarı 1 cm, kısa kenarı 1 cm ve yüksekliği 1 cm olan bir dikdörtgen prizmanın yüzey alanlarını bulalım.
Yukarıda verilen çizelgeden; 2 ( lw + hw + lh ) = 2 ( 1cm. 1 cm + 1 cm. 1 cm + 1 cm. 1 cm ) = 2 ( 1 cm² + 1 cm² + 1 cm² ) = 6 cm²

Dikdörtgen prizmanın hacmi = 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm³

Yüzey alanları / hacim = 6 cm² / 1 cm³ = 6/ cm olarak bulunur.

Dikdörtgen prizma, silindir ve kürenin yüzey alanlarının hacimlerine oranlarını birlikte hesaplamaya çalışalım.

Yüksekliği 1 cm, yarıçapı 1 cm olan bir silindirin yüzey alanının hacmine bölümünü, yukarıda verilen çizelgeden;
2 ( h + r )/( rh ) = 2 ( 1 cm + 1 cm ) /( 1 cm x 1 cm ) = 2 cm / 1 cm² = 2/cm

Dikdörtgen prizma, silindir ve kürenin yüzey alanlarının hacimlerine oranlarını birlikte hesaplamaya çalışalım.

Yarıçapı 1 cm olan küre için yüzey alanının hacmine oranını hesaplayalım.
Yukarıda verilen çizelgeden;
3/r = 3 / 1 cm = 3/ cm

Bir yüzme havuzundan üstümüzden sular damlayarak çıktığımızda derimizin üzerinde ince bir su tabakası vardır. Parmak uçlarımız kolumuz kadar ıslaktır; vücudumuzun her yerinde hemen hemen su tabakası aynı kalınlıktadır. Kabaca, havuzdan dışarı çıkardığımız su vücudumuzun alanı ile orantılıdır. Belki havuzdan bir bardak dolusu suyu birlikte taşırız ve bu da %1 kadar ağırlık artışına neden olur. Boyumuzun 1/10’u ve tamamen benzerimiz olan bir Liliput’un ağırlığı, bizim ağırlığımızın ( 1/10)³ ü olur.
Onun yüzeyi bizim yüzeyimizin ( 1/10)² si olacağından, havuzdan çıkaracağı su, bizim çıkarttığımızın ( 1/10 )² si olur. Böylece, onun için ( su miktarı) / ( esas ağırlık ) oranı bizim için olanın 10 katı olur. O kendi ağırlığının yüzde onu kadar su çıkarır ki, bu bir palto ile beraber bir kışlık elbisenin ağırlığına eş değerdir.

1.4. Bir canlının ısı yayma ( enerji yayma ) hızının yüzey alanı ile ilişkili olduğu verildikten sonra bu oran, canlıların bacak kalınlıkları, kuyruk ve kulak büyüklükleri ve vücut ağırlıklarına göre ne kadar yük taşıyabilecekleri ve ne kadar yemeğe ihtiyaç duyacakları ile ilişkilendirilir. Bu oran canlıların yüksekten düştüklerinde ne kadar zarar görecekleri ile de ilişkilendirilir.

Bir canlı vücudunun belli bir ölçekle değiştirilmesinde önemli başka bir etki daha vardır. Vücudunuz, deri ( ve nefes ile dışarı verilen sıcak hava ) yolu ile ısı kaybeder. Derinin yapısı ve sıcaklığı gibi etkenleri sabit tutarak, deneysel olarak da deneneceği gibi, kaybedilen ısının yüzeyle orantılı olacağına inanmak kolaydır. Aldığımız gıda hem bu ısıyı karşılar, hem de hareketimiz için gerekli enerjiyi karşılar. O halde minimum gıda yüzeyle orantılı olur. Buna göre, Gulliver’e yaşaması için bir ya da iki günde bir koyun budu ile bir somun ekmek gerekirse, bir Lilliput’lu aynı vücut sıcaklığını korumak için bunun 1/10’un karesi hamcında gıda almalıdır. Fakat koyun budu kendi dünyasının ölçeğinde küçülmüş olacağından hacmi 1/10’un küpü oranında küçülmüş olur. Bu nedenle, kendisini Gulliver gibi doymuş hissedebilmesi için et kızartması ve ekmeklerden 10 kat fazla yemelidir. O halde Lilliput’lular çok aç ve huzursuz olmalıdır. Bu özellikler fare gibi birçok küçük memelilerde gözlemlenmektedir.
Fareden daha küçük sıcakkanlı hayvanların niçin bulunmadığını artık anlayabilirsiniz. Balıklar, kurbağalar ve böcekler çok küçük olabilirler, çünkü vücut sıcaklıkları kendi çevrelerinden fazla değildir. Alan ve hacmin ölçek kurallarına uygun olarak sıcakkanlı küçük hayvanlar daha çok gıdaya ihtiyaç duyarlar. Çok küçük olanlar bu kadar besini toplayamazlar, toplasalar ve yeseler bile bu kadar çok yiyeceği hazmedemezler. Lilliput’luların tarımı, Gulliver’in anlattığı bir krallığı besleyecek yetenekte olamaz.
Görülüyor ki, ne Lilliput ne de Brobdingnag bizim dünyamızın ölçekli bir modeli olamaz.

Peki bu sonuçların fizikle ilgisi nedir?

Yine çok büyüklerle işe başlayalım. Bir sistemi ölçekle büyüttüğümüzde, yük yapının sağlamlığından daha çok artacaktır. Bu sadece hayvanlarda değil, bütün fiziksel sistemlerde böyledir. Binalar çok büyük olabilirler, çünkü malzemesi kemiklerden daha sağlamdır, şekilleri farklıdır ve binalar hareket etmezler. Bu olgular,

Dayanıklılık = k ( kalınlık )²

Denklemindeki k katsayısını saptar, fakat aynı kanun yine geçerli olur. New York’taki Empire State Building bir dağ kadar yüksek, örneğin 10.000 m yüksekliğinde yapılamaz. Dağların bütün kısmı, iç boşlukları hariç, içi dolu yapıdadır. Bir devin kemiklerinin kalın olması neden gerekli ise, bir dağ büyüklüğündeki cismin de içinde boşluk bulunmamalı, ya da henüz bilmediğimiz malzeme ile yapılmış olmalıdır.
Tartışmamızın konusu yeryüzü ile sınırlı değildir. Yerin çekim alanı dışında, uzayda aşırı büyüklükte yapılar düşünebiliriz. Bu halde yük yerin çekiminden ileri gelmez fakat yapı büyüyecek şekilde yapılırsa her kısmı içeri doğru büyük bir kuvvetle çekilir. Bildiğimiz malzeme ile yapılmış olan iç kısım ezilir ve yüzeydeki çıkıntılar parçalanır, ya da içeri göçer. Bu yüzden bir gezegen gibi büyük bir yapı basit bir şekilde olmalıdır ve eğer yeterince büyük ise bu şekil hemen hemen küre olur. Başka bir şekil kendisini taşıyamaz. İşte gezegenlerle güneşin küresel bir şekil almalarının temel nedeni budur. Bizim için yerküre üzerinde çekim kuvveti önemlidir, fakat boyutları çok büyüttüğümüz zaman kütle çekimi mutlak üstün olur. Bu sonucu yalnız hareket değiştirebilir. Nebula dediğimiz büyük gaz kütleleri zamanla değişmektedir. Onun için büyük cisimlerin basit şekilde olmaları kanunu burada değişliğe uğrar.
Kendi boyutumuzdan daha küçük boyutlara gidersek, çekim etkisi önemini kaybeder. Lilliput’taki araştırmada gördüğümüz gibi, yüzey etkileri kendilerini göstermeye başlar. Eğer yeteri kadar küçük yüzeylere gidersek, yüzeyler düzgünlüğünü kaybeder. O kadar pürüzlü hale gelirler ki, bir yüzeyi tanımlarken güçlük çekeriz. Artık başka tanımlar kullanmak gerekir. Şurası gerçektir ki, atom bölgesinde, yani pek küçük boyutlarda üstün olan çekme kuvveti günlük deneylerimizde gözlenmesi kolay olmayan bir çekimdir; bu o kadar şaşılacak bir şey değildir.
Bu tür tartışmalar fizikte her zaman olan şeylerdir. Büyüklük basamağı ölçmeleri gibi, bunlar da bir fiziksel sistemi öğrenmeye başladığımız zaman çok faydalı olurlar. Bir sistemin davranışının, boyut ölçeğinin hareketinin ve diğerlerinin değişmesiyle, nasıl değişeceği çoğu zaman ayrıntılı bir analize en iyi yol gösterici olur.
Bundan da fazla olarak alışılmamış ölçekler üzerine dayanan sistemlerin incelenmesi sayesinde fizikçiler bağıntıları meydana çıkarmayı başarmışlardır. Ölçeği değiştirdiğimiz zaman fizik dünyasının bir konusu daha belirli bir hale ve bir başkası silikleşir. Bu şekilde keşifler yaparız ya da hiç değilse normal ölçeklerimizle pek açık olmayan şeyleri belirli hale getiririz. Fizikçilerin laboratuar içinde ve dışında çok büyük ve çok küçüğü hızlı ve yavaşı, sıcak ve soğuğu düşünebildikleri bütün alışılmamış şeyleri incelemelerinin başlıca nedeni budur. Bu incelemelerde hem alışılmamış maddeler elde etmek, hem de ölçmeler yapmakta duyu organlarımızın yeteneğini arttırmak için bazı aygıtlar kullanırız.
İnsanın kendi büyüklük ölçüsünün dünya görüşünü nasıl etkilediğini göstermekten kendimizi alamayacağız. Genellikle fiziğin görevi evrenin, bizim yapımıza bağlı olmayan bir kuruluş çizelgesini ortaya koymaktır. Fakat kendi ölçeğimizin etkilerinden kurtulmak güçtür. Biz büyük yollar, köprüler yapabiliriz; fakat bunlar aslında üç boyutlu karışık yapılar değil, ince ve uzun şeylerdir. Büyük gemiler, binalar gibi yuvarlarca ve büyük şeyler yapabiliriz. Bunlar tümü ile üç boyutludur. Bunların da çizgisel boyutları, insan boyutunun pek öyle binlerce katı değildir.
Fizik çok ötelere giderek atomun içine dek girer, galaksilerin dışına çıkar. Mühendisliğin ve teknolojinin çok küçük ve çok büyükle uğraşabilmesi ancak gelecekte olanaklaşacaktır. Bir kilometre yükseklikteki enerji istasyonları ya da toplu iğne başı büyüklüğünde radyo devreleri yeni teknolojinin akıl almaz olanaklarını göstermektedir.
Bugünkü teknoloji dünyasında bile bizim bu ölçek tartışmalarımız önemlidir. Eğer bir küçük cisme dayanan büyük yeni bir cisim tasarlarsak artık biliyoruz ki, bizim ölçeğimize göre çok küçük olduğundan, farkına varamayacağımız etkiler işe karışabilir ve hatta bunlar, dikkate alınması gereken en önemli şeyler olabilir.
Biz geometrik ölçeğimizi körü körüne küçültüp büyütemeyiz, ancak fiziksel bir nedene dayanarak yapılan bir ölçek değiştirme ile bazen ne gibi değişiklikler meydana geleceğini önceden görebiliriz. Böylelikle, ölçeklemeyi hayret verici uçak modelleri çizmekte kullanabiliriz, ( A308 ‘ de olduğu gibi ). Örneğin arıya benzeyen fakat uçmayan bir jet uçağı tasarlamaktan kaçınırız.


--------------------------------------------------------------------
Bir önceki konumuz olan «Sıvılarda Kılcallık ve Yüzey Gerilimi (10.SINIF)» konumuzunda ilginizi çekeceğini düşünerek incelemenizi tavsiye ederiz.