Bağıntı, Fonsiyon, İşlem

SIRALI İKİLİ :

a ve b elemanlarının belirttiği ( a b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Yani : (a b ) ≠ (b a ) dir.
Örnek :

A( 1 3 ) noktası ile B( 3 1 ) noktası eşit noktalar değildir.

Noktalar kümesinin elemanları sıralı ikililerdir.
Sıralı ikililerin bileşenleri birinci bileşen ikinci bileşen olarak adlandırılır.
Sıralı İkililerin Eşitliği :

Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
Yani (x y ) = (a b ) ise x = a ve y = b
ÖRNEK :
( x + 3 y – 1 ) = ( 6 4 ) ise x ve y sayıları kaçtır?

Çözüm :

Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
Yani x +3 = 6 y – 1 = 4

x = 6 – 3 y = 4 + 1

x = 3 ve y = 5 bulunur.

( x + 3 y – 1 ) = ( 6 4 )

1. ( x + 3 y + 1 ) = ( 1 2 ) ise x = ? ve y = ?

2. ( 2x y - 5 ) = ( 8 -3 ) ise x = ? ve y = ?

3. ( x/2 3y ) = ( 6 0 ) ise x = ? ve y = ?

4. ( 2x + 1 4 ) = ( 7 y - 2 ) ise x = ? ve y = ?

ALIŞTIRMALAR 1 :
KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan ikinci bileşeni B’ den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B’ nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre;

şeklinde gösterilir.

ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan Ali Sertaç ve Tamer 7 10 ve 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazalım.

ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali Sertaç Tamer }

B kümesi B = { 7 10 11 }

A X B = { (Ali 7 ) (Ali 10) (Ali 11 ) (Sertaç7 ) (Sertaç10 ) (Sertaç11 ) (Tamer 7 ) (Tamer 10 ) (Tamer 11 ) }

ÖRNEK : A = {12 } B = {3a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız.

ÇÖZÜM :

AxB = {(13) (1a) (2 3) (2 a) }

BxA = {(3 1) (32 ) (a 1) (a 2)}

ÖRNEK : A = { -1 1 2 } B = { 0 1 } olduğuna göre A x B kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM :

A X B = { (-1 0 ) (-1 1) (1 0 ) ( 1 1 ) ( 2 0 ) (2 1 )}

ÖRNEK : A X B = { (-1 0 ) (-1 1) (1 0 ) ( 1 1 ) ( 2 0 ) (2 1 )} kartezyen çarpımını oluşturan A ve B kümelerini yazalım.

ÇÖZÜM : Birinci bileşenler A kümesini ikinci bileşenler B kümesini oluşturur. Tekrar eden eleman küme içine bir kez yazılır.

A kümesi A = { -1 1 2 }

B kümesi B = { 0 1 }

ÖRNEK : A X B = { ( 0 0 ) ( 0 1) ( 0 2 ) ( -3 0 ) ( -3 a ) (-3 2 )} kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır?

ÇÖZÜM : 0 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri 0 1 2 dir. –3 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri de 0 1 2 olmalıdır. Bu nedenle a elemanı 1 olmalıdır.
1. A = { 0 1 2 ) ve B = { -2 2 } ise AXB = ?

2. A = { -2 0 3 ) ve B = { -1 0 1 } ise AXB = ?

3. A = { 2 3 4 5 ) ve B = {6 } ise AXB = ?

4. A = { -1 1 2 ) ve B = { -3 2 5 } ise AXB çarpımını analitik düzlemde gösteriniz.

5. A X B = { (A 2 ) (A 5) ( B 2 ) ( B 5 ) ( C 2 ) ( C 5 ) } ise A ve B kümelerini yazınız.

6. A X B = { ( 2 2 ) ( 2 5) ( 2 8 ) ( 3 2 ) ( 3 5 ) ( 3 8 ) ( a 2 ) ( 4 5 )( 4 8 ) } kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır?

7. A X B = { (-3 -2 ) (-3 1) ( 0 -2 ) ( 0 1 ) ( 2 -2 ) ( 2 1 ) } ise AUB kümesini yazınız.

ALIŞTIRMALAR 2 :

KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ

S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.

1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)

2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur.

3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır .

4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)

5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC)

6) AxA = A²

ÖRNEKLER

1. A = { 2 5 } B= { -1 1 3 } ve C = { 0 4 } ise (AxB)U(AxC) kümesini bulalım.

ÇÖZÜM : (AxB)U(AxC) = Ax(BUC) olduğundan önce BUC kümesini buluruz.
BUC = { -1 0 1 3 4 }
Ax(BUC) = { ( 2 -1 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 5 -1 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 3 ) ( 5 4 )}
2. A B ve C üç kümedir. s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32 olduğuna göre A dan A ya kaç tane bağıntı yazılabilir?

ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = 32

S(A). 4 = 32

S(A ) = 32:4 = 8

A dan A ya yazılabilecek bağıntı sayısı 28.8 = 264 tanedir.



BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine A’ dan B’ ye bir bağıntı denir.

* AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bağıntı ya da A’ da bir bağıntı denir.
* s (A) = m s (B) = n ise A’ dan B’ ye 2m.n tane bağıntı tanımlanır.

ÖRNEK : AxB = {(13) (1a) (2 3) (2 a) } kartezyen çarpımının 4 tane elemanı vardır.

Bu kümenin alt kümeleri sayısı 24 = 16 ‘dır.

O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir.

Örneğin

β1 = {(13) (1a) } ve β2 = { (1a) (2 3) (2 a) } alt kümeleri A dan B ye birer bağıntıdır.



SONUÇ : s(A) = m ve s(B) = n ise A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı 2m.n tanedir.
ÖRNEKLER
1. Doğal sayılar kümesinde β = {(xy)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x y ) şeklinde olan ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı ikilileri yazın diyor.
Bunlar: β = {(02) (11) (20) } olur
2. Doğal sayılar kümesinde β = {(xy)| x > y } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu sıralı ikilileri yazın diyor.

Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayısız.
Bu nedenle β = {(10) (20) (30)... (21) (31) (41)... } şeklinde bu bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.
3. Reel sayılar kümesinde β = { (xy) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 } bağıntısının gösterdiği alan kaç birim karedir?

ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.

x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 yani 5 > y > 0 olur.

x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 yani -1> y > -3 olur.

Bölge bir kenarı 6 birim olan karedir. Alanı 6x6 = 36 olur.