Hipergeometrik Dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan seri halinde birbiri arkasından n tane nesnelerin çekilmesi şeklinde bir işlem için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler. Bir tipik örnek, iki kategorik değişkeni sınıflandiran bir olumsallık tablosunda gösterilebilir:

Çekilmiş Çekilmemiş Toplam Hatalı k m − k m Hatasız n − k N + k − n − m N − m Toplam n N − n N Eğer içinde m sayıdan daha fazla hatalı mal birimi olmadığını kabul ettiğimiz N sayıda mal birimini ihtiva eden bir mal teslimi yapılmıştır. Bu N sayıdaki mal birimi içinden tam n sayıda bir örnek alınıp bunlar test kontrolünden geçilirilirse bu örnek içinde tam k tane hatalı mal birimi bulunacağı hipergeometrik dağılım ile açıklanır.

Genel olarak: Eğer bir rassal değişken X rassal değişkeni N, m ve n parametreleri olan bir hipergeometrik dağılım gösterirse, tam olarak k sayıda başarı elde edilmesi, şu fonksiyonla bulunur:
k değeri max(0, n+m−N) ile min{m, n) arasında olursa olasılık pozitifdir.
Bu formül şöyle daha da açıklanabilir: (Geri koyulmadan) alınabilmesi mümkün örnek sayısı olur. Hatalı nesne sayısının k olması için sayıda alternatif bulunur; örneğin geride kalan kısmınin hatasız nesnelerle doldurulması için de alternatif mevcuttur.
k 0 ve N arasında her tamsayı değeri alabildiği için ve olasılık değerlerinin toplamı 1 olduğu için, bu kombinatorik matemetik kuramına göre Vandermonde'nin özdeşliğidir.

Uygulama ve bir örnek

Hipergeometrik dağılımın klasik uygulaması geri koymadan örnekleme adı verilebilen bir denemedir. Bir küp problemi düşünülsün: bir küpün içinde iki tip küçük top, beyaz ve siyah, bulunduğu düşünülsün. Aynen bir binom dağılımı için yapılan deneme gibi, küpten bir beyaz top çekmeye başarı adı verilsin ve alternatif olan siyah top çekmek başarısızlık sayılsın. N küpte bulunan toplam top sayısı, m küpteki beyaz top sayısı ve böylece N − m ise küpteki siyah top sayısı olsun. Şimdi küpün içinde 5 beyaz ve 45 siyah top olduğu varsayılsın. Gözleri kapalı olarak küpten birer birer 10 tane top çekilsin ve her çekilen top küpe geri konulmasın. Bu deneme geri koyulmadan örnekleme olur.
Araştırmayı ilgilendiren soru: Bu çekişte küpten tam 4 tane beyaz top çekme (yani ima ile 6 tane de siyah top çekme) olasılığı nedir? Buna binom dağılım modeli uygulanamaz; çünkü her çekilişte başarı olasılığı değişmektedir. Bu problem iki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosunda şöyle özetlenebilir:

Çekilmiş Çekilmemiş Toplam Beyaz toplar 4 (k) 1 = 5 − 4 (m − k) 5 (m) Siyah toplar 6 = 10 − 4 (n − k) 39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − m) 45 (N − m) Toplam 10 (n) 40 (N − n) 50 (N) Küpten tam olarak k tane beyaz top çekmenin olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanir:
Bu problkem için k = 4 olduğundan 4 tane beyaz top (ve 6 tane siyah top) çekme olasılığı
çok düşük bir değerde (yaklaşık 0,004) olup, olabilirliği nerede ise sıfıra eşittir. Bu bir değişik ifade ile açıklanırsa bu rassal deneme (yani içinde 50 top bulunan bir küpten 10 tane top çekip hiçbirini geri koyulmamasi denemesini) 1000 defa tekrarlanırsa 4 beyaz (ve 7 siyah) top elde etmek ancak 4 defa ortaya çıkan bir sonuç olacaktır.
Bu sefer küpten 5 tane beyaz (ve 5 tane siyah) top çekme olasığına göz atılsın. İki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosu şöyle kurulur:

Çekilmiş Çekilmemiş Toplam Beyaz toplar 5 (k) 0 = 5 − 5 (m − k) 5 (m) Siyah toplar 5 = 10 − 5 (n − k) 40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D) 45 (N − m) Toplam 10 (n) 40 (N − n) 50 (N) Olasılık şöyle hesaplanabilir (Dikkat edilirse paydalar hep aynıdır):
Beklendiği gibi 5 beyaz top çekme olasılığı, 4 beyaz top çekme olasılığının çok daha altındadır.
Simetriler

Hipergeometrik dağılımda n ve m parametreleri arasında çok önemli simetriler vardır. Bu simetriler verilen küp problemi için önemli değil gibi görünmektedirler. Gercekten verilen bazı hipergeometrik dağılım gösteren problemlerde n ve m parametreleri hiçbir problem olmadan birbiriyle değiştirilebilir. Ancak hayat/ölüm sorunlarına hipergeometrik dağılım uygulanmaya başlayınca önemleri anlaşilabilir.
Parametreler olan n ve m arasindaki simetriler şöyle siralanbilirler:

• Bu halde siyah ve beyaz en basitce rol değişstirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(n − k;N,N − m,n) Bunu daha kolay anlamak icin siyah toplar beyaza; beyaz toplar siyaha boyanınca neyin değiştiğıni düşünmek gerektir.

• Bu halde çekilmiş ve çekilmemiş toplar rol değiştirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(m − k;N,m,N − n)

• Bu simetriyi anlamak icin topları çekme hareketini unutup, zaten çekilmiş olan toplara dikkat

çekilmektedir ve zaten çekilmiş olan toplara etiket yapıştırma işlemine benzer:
f(k;N,m,n) = f(k;N,n,m) İlişkili dağılımlar

X ~ Hypergeometrik(m, N, n) ve p = m / N olsun.

• Eğer n = 1 ise X rassal değişkeni p parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir.

• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan n ve p ile karşılaştırılınca N ve m büyük değerlerde iseler, o halde

Burada Y rassal değışkeni parametreleri n ve p olan bir binom dağılım gösterir.

• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan n ve p ile karşılaştırılınca N ve m büyük değerlerde iseler, o halde

Burada Φ bir standart normal dağılım gösterir.