20
EXE RANK
OttoMaNs* ;яeiz
Fexe Kullanıcısı
Puanları
0
Çözümler
0
- Katılım
- 20 Şub 2011
- Mesajlar
- 32,869
- Tepkime puanı
- 0
- Puanları
- 0
- Yaş
- 36
- Web sitesi
- www.netbilgini.com
NİCELEME MANTIĞININ ANA KAVRAMLARI
1.NİCELEYİCİLER
Burada "önermeler mantığının basit önermeleri" incelemek ama-cındayız. Böylece önermeler mantığı açısından basit yani "bölünmez" olan bazı önermelerin de bir takım yapı-taşlarının yani daha "ince" atomsal bileşenlerden kurulu olduğunu göreceğiz. Örneğin,
(1) Bütün insanlar ölümlüdür
önermesini ele alalım. Bu, önermeler mantığı açısından bir basit önermedir. Gerçi, (1) İn bîr kısmı olan 'insanlar ölümlüdür' deyimi de tek başına bir Önerme sayılır; ama böyle bir önerme 'bütün insanlar ölümlüdür ün bir kı-saltmasından başka bir şey değildir. Böylece, (1) in kendinden başka hiçbir kısmının bir önerme olmadığını söyleyebiliriz.
imdi, (1) önermesini
İnsan olan her nesne Ölümlü bir nesnedir
biçiminde yorumlamak mümkündür. Herhangi bir nesneyi belirtmek için V gibi bir değişken kullandıkta, (1) İ
insan olan her x, ölümlü bir tir biçiminde dile getirebiliriz. Bu son önerme ise
(2) her x için; x bir insan ise, x ölümlüdür
anlamına gelir. (2) önermesini,
x ne olursa olsun; x bir insan ise, x ölümlüdür biçiminde de dile getirebiliriz.
şİmdi, 'ise' yerine '→' işaretini kullanmak suretiyle, (2) yi
(3) her x için [(x bir insandir) → (x ölümlüdür)]
biçimine çevirebiliriz. (3) önermesinin (kendinden başka) hiçbir kısmı bir önerme değildir. Nitekim, ne '(x bir insandır) → (x ölümlüdür)', ne 'x bir insandır', ne de 'x ölümlüdür' (doğru veya yanlış niteliğini taşıyamadığın-dan) bir "önerme" değildir. Örneğin.
(4) x bir insandır
deyimini ele alalım. Burada geçen V değişkeni hiçbir belli nesne veya kimse-nin adı değildir. Ancak V in birçok "değerleri" vardır: V in her değeri belli bir dil-dışı nesne (veya kimse) dir, V in yerine konulabilen bir deyim değil. Örneğin, 'Sokrates adlı filozof 'x' in bir değeridir, ama bu filozofun adı olan 'Sokrates' sözcüğü V in bir değeri değil, bîr "yerine-koyma örneği"^.
'x' değişkeninin her "yerine-koyma örneği" (yani V in yerine konulabi-len her deyim) genellikle V in değerler: olan nesnelerden birinin adıdır. 'x bir insandır' gibi bir deyimden, V i onun yerine-koyma örneği olan bir adla değiştirmek suretiyle (doğru veya yanlış) bir önerme elde edebiliriz. Örneğin, V yerine 'Sokrates' adını koymakla 'Sokrates insandır' gibi doğru bir önermeyi, V yerine 'Çoban yıldızı' adını koymakla 'Çoban yıldızı bîr İnsandır' gibi yanlış bir önermeyi elde ederiz. 'x' İn yerine-koyma örneği olan bir adın adlandırdığı nesne 'x' in bir değeri"\ sayılır. Buna göre. Çoban yıldızının da V in bir değeri olduğunu görüyoruz. Böylece 'x bir insandır' türünden bir deyimde geçen V değişkeninin değerleri sadece insanlar değil, her türlü (somut) nesnelerdir. Her (somut) nesnenin bir adı olmadı-ğından, V in değerleri sadece 'x' in yerine-koyma örneği olan deyimlerin adlandırdığı nesnelerden ibaret değildir. Ancak, V in değeri olan her nesne için "bu nesnenin bir adı olsaydı, bu ad V in bir yerine-koyma örneği olurdu" diyebiliriz.
İmdi. Y değişkeni, 'p' temsilci-harfi gibi (bir takım "yerine koyma-örnekleri" olmasından ötürü) bir "değişen" dir. Ancak V gibi bir değişenin birtakım değerleri olduğu halde (yani 'x' in yerine-koyma örnekleri bir-takım dil-dışı nesnelerin adları oldukları halde),'p' gibi bir değişenin yerine-koyma örnekleri (yani "yorumlar')") hiçbir nesnenin adı değildir. Temsilci-harfler, yerine-koyma örnekleri olmakla birlikte, değerleri olmayan değişen-lerdir. Böylece "değişenler"!, değerleri olup olmadığına bakarak, "değiş-kenler" ve "temsilci-harfler" olmak üzere iki öbeğe ayırıyoruz.
'x insandır' gibi bir deyim bir "açık-önerme"dir. Bir açık-önerme (bir önerme kalıbı gibi), içinde geçen değişkenin veya değişkenlerin yerine birer
yerine-koyma örneği koymak suretiyle (doğru veya yanlış) bir önerme haline girer. Böyle bir önerme açık önermenin bir "yorumu" değil, bir "ömek-önerme" sidir. Böylece 'Sokrates bir insandır'. 'x bir insandır' öner-me-kalıbının doğru bir örnek-önermesi, 'Çoban yıldızı bir insandır da yanlış bir örnek-önermesidir.
Şimdi (3) önermesinde geçen
(5) (x bir insandır) → (x ölümlüdür)
açık-önermesini e!e alalım. Bu açık-önermenin örnek-önermeleri '(Sokrates bir insandır) → (Sokrates ölümlüdür)'. '(Çoban yıldızı bir insandır)-→(Çoban yıldızı ölümlüdür) ', '(bu masa bir insandır)→ (bu masa ölüm-lüdür)'..,, gibi belirsiz sayıda bir çok şartlı-önermelerdir. Bir şartlı-önermenin ön-bileseni yanlış İse tümü doğru olduğundan, ancak ön-bileşeni doğru olanlarının tümü yanlış olabilir. Dolayısıyla, ancak V in yerine bir İnsan adı koymamız halinde (5) in yanlış bir örnek-önermesini beklemek müm-kündür.
imdi, (3) önermesinin doğruluğunun gerekli (ama yeterli olmayan) şartı (5) acık-önermesinin bütün örnek-önermelerinin doğru olmasıdır. Ön-bileşeni yanlış olan örnek-önermeler, olgular ne otursa olsun doğru olduğundan, sözü geçen gerekli şartı sadece ön-önermesi doğru olan örnek-önermelere sınırlayabiliriz. Başka bir deyimle, (3) ün doğruluğunun gerekli şartı, (5) in ön-bileşeni doğru olan ('Sokrates insandır-*- Sokrates ölüm-lüdür'. 'Ahmet insandır -* Ahmet ölümlüdür... gibi) bütün örnek-öner-melerinin doğru olmasıdır. Bu örnek-önermelerin bir tekinin bile yanlış-lığı (3) önermesini yanlışlar.
Görüldüğü gibi, (3) önermesinin doğruluk-değeriyle (5) acık-önerme-sinin örnek-önermelerinin doğruluk-değerleri arasında belli bir bağıntı vardır. Bu bağıntı ise 'her x için' deyimiyle belirlenmiştir. Bu deyimin görevi bitişik olduğu önerme-kalıbını "nicelemek"tir. Bu bakımdan böyle bir deyime bir "niceleyici" denir. Bir niceleyicinin ilişkin olduğu önerme kalı-bına da niceleyicinin "etki-alanı" denir. Örneğin. (3) önermesinde 'her x için niceleyicisinin etki-alanı, (5) önerme-kalıbından ibarettir. 'Her x için' deyimi yerine 'V*' sembolik deyimi kullanılır. Böylece, (1) önermesi-nin mantıksal yapısını
(6) V* £(x bir insandır)-* (x ölümlüdür)]
biçiminde dile getiririz.
Değişken olarak V harfinden başka 'y'. :z', 'u'. V. 'W harfleri de (in-dişli veya indissiz, uslu veya üssüz olarak) kullanılır, 'Vs', 'Vy', Vz'
gibi bir deyime, bir açık-önermeden bir "tümel-önerme" elde etmeye yaradığından, "tümel niceleyici" denir. V sembolüne de "tümel niceleme
işareti" diyoruz.
Şimdi de
(7) Bazı omurgalılar memelidir
önermesinin mantıksal yapısını inceleyelim. Bu önerme
(8) Hem omurgalı hem memeli olan (hiç olmazsa) bir nesne vardır
biçiminde yorumlanabilir. Nitekim hem omurgalı hem memeli olan hiçbir nesne olmasaydı, (7) yanlış olurdu. Öte yandan, hem omurgalı hem memeli olan bir tek nesnenin varolması halinde bile (7) doğrudur. (8) önermesini V gibi bir değişken yardımıyla
öyle bir x vardır ki, (x omurgalıdır) ve (x memelidir) yani
(9) öyle bir x vardır ki [(x omurgalıdır) (x memelidir)]
biçimine dönüştürebiliriz.
(7) önermesi ((1) gibi). Önermeler mantığı açısından basit bir öner-medir. Nitekim,'omurgalılar memelidir', (7) nin tek başına önerme durumun-da olan bir kısmı olmakla birlikte, ('bütün omurgalılar memelidir anlamına
geldiğinden) halis bir bileşeni sayılmaması gerekir. Bunu (9) önermesinde daha açık olarak görüyoruz: (9) un kendinden başka hiçbir kısmının bir önerme olmadığı meydandadır. Nitekim (9)
(10) (x omurgalıdır) (x memelidir)
açık önermesinin önüne 'öyle bir x vardır ki' deyiminin konulmasıyla elde edilmiştir. Bu son deyim İse bir "niceleyicidir". Böyle bir niceleyiciye "var-lıksal niceleyici" denir. 'Öyle bir*x vardır ki' deyimi yerine sembolik ola-rak '3x' deyimi kullanılır. Böylece (9) önermesini
(11) x[{x omurgalıdır) (x memelidir)]
biçiminde dile getiririz. ' ' sembolüne "varlıksal niceleme işareti" diyoruz. Bu işaretin önüne x, 'y'. ... gibi herhangi bir değişken konularak ' x',
' y'... gibi varlıksal niceleyiciler elde edilir.
Bir varlıksal niceleyici (bir turne! niceleyici gibi), etki-alanı durumunda olan acık-Önermeyi nicelemeye yarar. Ancak tümel niceleme halinde, mey-dana gelen önermenin doğruluğu için önerme-kalıbının bütün örnek-öner-melerinin doğru olması gerektiği halde, varlıksal niceleme halinde örnek-önermelerinin bir tekinin doğruluğu yeter. Örneğin, (10) un bir örnek-önermesi olan
(bu kedi omurgalıdır) (bu kedi memelidir) önermesinin doğruluğu (9) önermesinin doğruluğu için yeterli bir şarttır.
Önünde bir tümel niceleyici bulunan her önermeye "tümel önerme",. önünde bir varlıksal niceleyici bulunan her önermeye de "varlıksal önerme" (veya eski deyimiyle "tikel önerme"} denir. Gerek tümel önermeler, gerekse varlıksal önermeler "genel önerme/eredir. Hiçbir niceleyiciyi içine almayan önermeler ise "tekil önermeler" dir.
Böylece bütün önermeleri (I. Bölümün basında belirttiğimiz gibi) "tekil önerme/er" ve "genel önermeler' olmak üzere iki geniş öbeğe ayırabiliriz. Genel önermeleri ((1) veya (6) gibi) "tümel önerme/er" ile ((7) veya (11) gibi) "varlıksal önermeler"e (yani "tikel önermeler'e) ayırı-yoruz. Tekil önermeleri ise "basitteki! önermeler" ve "bileşik tekil Önermeler" olmak üzere iki öbeğe ayırabiliriz. Örneğin, 'Sokrates bir insandır' bir basit tekil önerme, '(bu kedi omurgalıdır) (bu kedi memelidir}' bir bile-şik tekil önermedir.
'x' gibi bir değişkenin değerleri olan nesnelerin tümüne x değişkeninin "değer-alanı" denir. V. 'y',... gibi birçok ayrı ayrı değişkenler kullandığımız halde, her birinin değer-alanının aynı olduğunu kabul ederiz. Bütün bu değiş-kenlere ortak olan değer-alanı, geçmişte, şimdiki zamanda veya gelecekte var olan bütün (canlı veya cansız) somut nesnelerden ibarettir. İmdi değer-alanının her üyesinin, yani her somut nesnenin bir ve yalnız bir tek adı olduğunu, aynı somut nesnelerin de ayrı adları olduğunu kabul edelim. Bu adlar 'a/, 'a2',... olsun. O zaman (6) gibi bir tümel önermenin doğrulu-ğunun gerekli ve yeterli şartı. (5) Önerme-kalıbının bütün Örnek-önerme-lerinin doğruluğundan ibaret olur. (Bu şart, her değerin bir adı olmaması halinde sadece gerekli olup yeterli değildir.) Aynı şekilde, (11) gibi bir varlıksal önermenin doğruluğunun gerekli ve yerer// şanı (10) önerme-kalıbının örnek-önermelerinden hiç olmazsa birinin doğru olmasıdır. (Bu şart, her değerin bir adı olmaması halinde, sadece yeterli olup gerekli değildir.)
Değer-alanının sonlu olması, yani a, ... a gibi n tane nesneden ibaret olması halinde, her nesnenin de belli bir adı olduğunu kabul ederek, sözü geçen şartları şöyle dile getirebiliriz:
a. Bir tümel-önermenin doğruluğunun gerekli ve yeterli şartı, bu öner-
menin etki-alanı olan önerme-kalıbının bütün örnek-önermelerinin bir-
likte-evetlemesinin doğru olmasıdır.
b. Bir varlıksal önermenin doğruluğunun gerekli ve yeterli şartı, bu
önermenin etki-alanı olan önerme-kalıbının bütün Örnek-önermelerinin
ayrıklığının doğru olmasıdır.
Buna göre. 'bulun insanlar ölümlüdür' gibi bir tümel önermeyi:
( bir insansa a ölümlüdür) ve ... ve (an bir İnsansa an ölümlüdür)
biçiminde; 'bazı omurgalılar memelidir' gibi bir varlıksal önermeyi de a omurgalı ve memelidir) veya ... veya (a omurgalı ve memelidir)
biçiminde yorumlayabiliriz.
Böylece değişkenlerin değer-alanının sonlu olması ve her değerin belli bir adının olması halinde, niceleyiciler yerine önerme-eklemlerini kullan-mak mümkündür. Ancak gerçekte, değer-alam, yani somut nesnelerin tümü, sonsuz veya hiç değilse sınırsız olduğundan, önerme eklemleriyle yetineme-yiz; niceleyicileri de kullanmamız gerekir. Böylece önermeler mantığının yanı' sıra ondan daha geniş olan bir "nice/eme mantığı" nın olduğunu anlıyoruz.
Niceleme mantığında, içinde V gibi bir değişkenin geçtiği herhangi bir "acık-önerme" Fx'. 'Gx', 'Hx',... gibi "açık önerme -kalıbı" denilen de-yimlerle temsil edilir. 'F'. 'G', 'H', ... harfleri temsilci harflerdir; ancak
bunlar 'p', 'q', 'r' harflerinden farklı olarak, .önermeleri değil, 'yüklemler' \
temsil ederler. Bu bakımdan, bunlara "yüklem-temsilcisi harfler" veya kısaca "yüklem temsilcileri" diyoruz.
'Fx' kalıbını 'x, F dır' şeklinde okuyabiliriz. O zaman
(12) xFx
kalıbını 'x ne olursa olsun, xF dır' veya 'her nesne F dir' biçiminde;
(13) ΞxFx
kalıbını da 'öyle bir x vardır kr.. x.F dir' veya 'F olan bir x vardır biçiminde dile getirebiliriz. Buna göre,
(14) ~ xFx
"(her nesne F d/r) değil" (yani "her nesnenin F olduğu doğru değildir") anlamına gelir. Oysa bu deyimin "F olmıyan bir nesne vardır" anlamına geldiği meydandadır. Bu son deyim ise
(15) Ξx~Fx
biçiminde dile getirilir. Böylece (14) ile (15) in eşdeğer olduğunu görü-yoruz.
Öte yandan,
(16) ~ΞxFx
"F olan bîr nesnenin varolduğu doğru değildir" anlamına gelir. Oysa, bu deyim "hiçbir nesne F değildir" yani "x ne olursa olsun, x F değildir" ile eş-anlamlıdır. Bu ise
(17) Vx~Fx,
biçiminde dile getirilir. Şu halde (16) ile (17) nin eşdeğer olduğunu görü-yoruz. (14) ile (15) in ve (16) ile (17) nin eşdeğerliğini şöyle dile getiri-yoruz:
(18) ~VxFx = Ξx~Fx
(19) ~ΞxFx • Vx~Fx
(18) eşdeğerliğinin iki yanını değillemek suretiyle
(20) VxFx - ~Ξx~Fx
eşdeğerliğini; (19) un ikî yanını değillemek suretiyle de
(21) ΞxFx - ~Vx~Fx
eşdeğerliğini elde ederiz.
(20) eşdeğerlisine dayanarak tümel niceleyicinin varlıksal niceleyici türünden tanımlanabildiğim, (21) eşdeğerliğine dayanarak da varlıksal niceleyicinin tümel niceleyici türünden tanımlanabildiğim söyleyebiliriz.
Klâsik mantıkta "kategorik" denilen önermeler A (tümel eveîleyici), £ (tümel değilleyici), / (tikel evetleyici) ve O (tikel değilleyici) olmak üzere dört Öbeğe ayrılır. Bu dört çeşit önermeyi 'S' ve 'P' gibi iki terim-ternsilcisi
yardımiyle şöyle temsil edebiliriz:
(A) Bütün S !er P dir
(E) Hiçbir S P değildir
(İ) Bazı S ler P dir
(O) Bazı S İer P değildir
(6) ve (11) önermelerini örnek alarak, A türünden Önermelerin
(22) Vx[(x S dir) → (x P dir)]
biçiminde, / türünden önermelerin i^e
(23) Ξx[(x S dir) Λ (x P dir)]
biçiminde dile getirilebileceğini görüyoruz.
imdi ıdâsik mamıkta bir yandan A ile O nün, öbür yandan da £ ile / nm çelişik, yani birbirinin değillemesi olduğu gösterilir. Buna göre, O türünden önermeleri (22) nin değillemesi şeklinde, E türünden önermeleri de (23) ün değillemesi şeklinde dile getirebiliriz. (22) nin değillemesi olan
~Vx[(x S dir)→ (x P dir)] kalıbını, (18) eşdeğerliği gereği,
Ξx~[(x S dir) → (x P dir)]
biçimine dönüştürebiliriz. Bu son kaifpta niceleyicinin etki-aianı olan açık-önerme ~ (p -* q)' biçimindedir. Bu ise 'pq* ile eşdeğerdir. Böylece O biçimindeki önermelerin, (22) nin değillemesi olarak,
(24) Ξx[(x S dir) Λ ~(x,P değil)]
biçiminde temsil edilebildikleri sonucuna varıyoruz.
£ türünden önermeleri temsil etmek için de (23) ün değiltemesi olan
~Ξx[(x S'dir) Λ (x P dir)] kalıbını göz önüne alırız. Bu kalıbı, (19) eşdeğerliği gereği,
Vx-[(xS dir) Λ (x P dir)] biçimine, bunun da etki-atanı ~(pq)' biçiminde olduğundan ('~(pq)'
nün DeMorgan kanunu gereği 'p V q', dolayısıyla 'p → q' ile eşdeğer olmasına dayanarak),
(25) Vx[(x S dir) → (x P değil)]
biçimine dönüştürebiliriz. Böylece E türünden Önermelerin (25) kalıbı ile temsil edilebildiğini görüyoruz.
2. TEKİL TERİMLER ve GENEL TERİMLER
Şimdi önermeler mantığının bel kemiği durumunda olan açık-önermeleri daha yakından inceleyelim. Kendinden başka hiçbir kısmı bir acık-Önerme olmayan bir açık-Önermeye atomsal açık-önerme diyeceğiz, örneğin, 1'dekİ (5) acık-önermesi 'x bir İnsandır' ve 'x Ölümlüdür' olmak üzere iki ayrı atomsal açık-önermeden kurulu bir molekülsel açı k-Önermedir. Her atomsal açık-Önermede bir veya bir kaç değişken bulunur. Bir tek de-ğişkeni olan bir atomsal açık-önermeye 7-// atomsal açık-Önerme. iki ayrı
değişkeni olan atomsal açık-Önermeye 2-li atomsal açık-Önerme n tane
ayrı değişkeni olan bir atomsal açık-onermeye de n-li atomsal açık-önerme denir. Örneğin, 'x bir insandır' bir 1-ii atomsal açık-önerme, '* y nin babasıdır' bir 2-li atomsal açık-önerme, *x, y ile z nin arasındadır' bir 3-lü atomsal açık-önermedir. Bir atomsal açık-önermenin her örnek-önermesi (yani içinde geçen değişkenlerin yerine birer ad koymakla elde edilen önerme) bir atomsal tekil önermedir. Örneğin, sözü geçen atomsal açık-önerme-lerin örnek-önermeleri olan 'Sokrates ölümlüdür'. 'Ahmed Behçed'in ba-basıdır' ve 'B noktası, A noktasıyla C noktasının arasındadır' atomsal tekil önermelerdir.
$imdi
(1) Sokrates ölümlüdür
atomsa! tekii önermesinin mantıksal yapısını inceleyelim. Gerek günlük dilin grameri gerekse klâsik mantık açısından, 'Sokrates' deyimine (1) önermesinin "özne"si, 'ölümlü' deyimine de (1) önermesinin "yüklem"i denir. 'Dır'. 'dür' gibi deyimlere ise önermenin "koşaç"\ (copula) denir. Modern mantık açısından koşacı yüklemin ayrılmaz bir parçası saymak elverişlidir. Buna göre, bir yüklemi hep bir "fiil" şeklinde yorumlıyacağız. Klâsik mantığın koşacını, bir isim veya sıfatı fiil biçiminde bir deyim haline getirmeğe yarı-yan bir sonek olarak yorumlayacağız. Örneğin, 'ölümlü sıfatını 'dür' soneki yardımiyle fiil biçiminde olan 'ölümlüdür' deyimine, 'insan' gibi bir ismi de 'dır' soneki (ve 'bir öneki) yardımiyle 'insandır' (veya 'bir İnsandır'} gibi fiil biçiminde olan bir deyime çeviririz.
İmdi,
(2) x ölümlüdür
gibi bir atomsa! acık-önermeyi inceleyelim. Bu açık-önerme V değişke-nliyle 'ölümlüdür' deyiminden ibarettir. 'Ölümlüdür' deyimi, (2) açık-öner-rnesinin ((1) gibi) her örnek-önermesinin yüklemidir. Bu özellikten dolayı, 'ölümlüdür' deyiminin (2) atomsa! açık-önermesinin "yüklem"i olduğu söylenir. Genel olarak, herhangi bir atomsal açık-önermede bütün değiş-kenlerin kaldırılması sonucunda geri kalan kısma atomsal açık-önermenin yüklemi denir. Böylece her atomsal açık-önermenin bir veya bir kaç de-ğişkenle bir tek yüklemden kurulu olduğunu söyleyebiliriz.
Görüldüğü gibi, verilen bir atomsal açık-önermenin yüklemini tespit etmek için "kullanan" veya "dil-dışı karşılık" faktörünü hiç hesaba kat-madan sadece deyimin biçimine bakmak yetiyor. Örneğin 'x y n/n babasıdır' atomsa! açık-önermesinin yüklemi, bu deyimde 'xr ve 'y'- harf-lerinin dışında kalan bütün kısımların tümünden başka bir şey değildir. Dolayısıyla bu yüklem, 'nin babasıdır' dan ibarettir. Aynı şekilde, 'x, y ve z nin arasındadır' atomsal açık-önermesinin yükleminin ',.. ve ... nin ara-sındadır' dan İbaret olduğunu söyleyebiliriz. Sembolik dilde bu gibi "sürek-siz" yüklemler yerine hep sürekli deyimler kullanılır. Örneğin, sözü geçen iki atomsal acık-önermeden, birincisini
Baba(x, y) veya' kısaca 'B(x, y)'; ikincisini de
Arasında(x. y, z) veya kısaca 'A(x. y. z}' biçiminde dile getiririz.
Yüklem olan deyim, yalnız çok değişkenli atomsal açık-önermeler halin-de değil. 1-li atomsal açık-önermeler halinde de değişkenin önünde yazılır.
Örneğin (2) atomsal açık-önermesini
Ölürnlû(x) veya kısaca 'Ö(x)'. ya da 'Öx' biçiminde yazarız.
Öte yandan, bir 1-Iİ atomsal açık-Önermenin örnek-önermesi olan her önermenin öznesi, söz konusu atomsal açık-önermede değişken yerine konulan deyimden ibarettir. Örneğin (1) önermesinin öznesi, (2) atom-sal açık-Önermesinden (1) önermesini elde etmek için Y değişkeni yerine konulan 'Sokrates' deyiminden ibarettir. Genel olarak, herhangi bir atomsal tekil önermenin "özneler"m\ bu önermeyi elde etmek için baş-vurulan atomsal açık-önermenin değişkenleri yerine konulan deyimler şeklinde tanımlıyoruz. Örneğin, 'Ali Behçedin babasıdır' önermesini elde etmek İçin 'x y nin babasıdır' atomsal açık-önermesinde Y yerine 'AH', 'y' yerine de 'Behçet' deyimini koyduğumuza göre, sözü geçen öner-menin öznelerinin 'Ali' ve 'Behçet' deyimlerinden ibaret olduğunu söyle-riz. Böylece atomsal önermenin bir tek yüklemi olduğu halde, birden çok öznesi olabildiğini kabul edeceğiz.
'Özne' ve 'yüklem' deyimlerini bu şekilde tanımladıktan sonra, bu iki kavram yardımıyla herhangi bir dilin terimlerini "tekil terimler" ve "genel terimler" olmak üzere iki öbeğe ayırabiliriz: Bir " tekil-terim" \, bir önermenin öznesi olabilen bir deyim olarak; bir "genel terim"\ de bir önermenin yük-lemi olabilen bir deyim olarak tanımlıyoruz. Buna göre, bir "terim" (yani bir tekil veya genel terim), bir önermenin öznesi veya yüklemi olabilen bir deyim şeklinde tanımlanabilir. Bir önermenin öznesi veya yüklemi bir tek sözcükten ibaret olduğu gibi, pirden çok sözcükten kurulu bileşik bir deyim de olabilir. Örneğin (1) 'önerme'sinin gerek öznesi ('Sokrates') gerekse yüklemi ('ölümlüdür') bir tek sözcükten ibarettir. Bu gibi terimlere "basit terim" diyoruz. ('Sokrates' bir basit tekil terim, 'ölümlüdür' de bir basit genel terimdir.) Öte yandan, 'bu masa dört köşelidir' atomsal önermesinin gerek öznesi ('bu masa) gerekse yüklemi ('dört köşelidir') iki sözcüklü "bileşik terimler" dir. ('Bu masa' bir bileşik tekil terim, 'dört köşelidir' de bir bileşik genel terimdir.)
Bileşik terimler yalnız iki sözcüklü değil, çok daha karmaşık da olabi-lirler. Örneğin. 'Ahmedin üçüncü oğlunun geçen yıl satın aldığı mavi ceket' gibi bir deyim bir önermenin öznesi olabildiğinden, bir tek "bileşik tekil terim" sayılmalıdır. Aynı şekilde, 'baldıran içmek suretiyle ölmüştür' deyimi bir önermenin yüklemi olabildiğinden, bir tek "bileşik genel terim" durumundadır.
Tekil ve genel terimler arasındaki ayrımı incelemek amacıyla aşağıdaki önermeleri göz önüne alalım;
(3) Ahmet bir insandır.
(4) Bütün insanlar ölümlüdür.
(5) Bazı insanlar filozoftur.
(6) Gök mavidir.
(7) Mavi bir renktir.
'İnsan' sözcüğü (3) te yüklem konumunda, (4) ve (5) te ise özne ko-numunda geçiyor. 'Mavi' sözcüğü de (6) da yüklem konumunda, (7) de ise özne konumunda geçiyor. Böylece aynı bir terimin, bağlamına göre, "tekil" veya "genel" olabileceği sanılabilir. Oysa, biz aynı terimin, anlamı değiş-meksizin, hem tekil hem genel olamayacağını kabul ediyoruz. Şu halde, belli bir terimin bir önermede özne, başka bir önermede yüklem konumunda geçmesi halinde; ya bu terimin ikinci önermedeki anl*****n birincisindeki anlamından farklı olduğunu, (yani terimin "çok-anlamlı" olduğunu), ya da bir terimin belli bir önermede görünüşte "özne" olarak geçtiği halde, gerçekte "yüklem" olabileceğini: veya görünüşte "yüklem" olarak geçtiği halde, gerçekte "özne" olabileceğini kabul etmek zorundayız. İmdi, 'insan' sözcüğünün (4) ve (5) önermelerinde görünüşte (yani günlük dilin grame-riyle bu grameri geniş ölçüde izleyen klâsik mantık gereğince) özne konu-munda geçtiği halde, gerçekte (yani modern mantık ve semiotik açısın-dan) yük/em sayılması gerektiğini gösterebiliriz. Nitekim, §1 de belirtil-dîği gibi, (4) ün mantıksal yapısı
(8) V[(x bir insandır) → (x ölümlüdür)]
önermesiyle dile getirilmektedir. (5) in mantıksal yapısı da
(9) Ξx[(x bir insandır) Λ (x bir filozoftur)]
biçiminde dile getirilir. Oysa, 'insan' sözcüğü gerek (8) gerekse (9) da 'x bir insandır' atomsal kalıbının yüklemi olarak geçiyor. Şu halde, 'insan sözcü-ğünün ancak görünüşte (4) ve (5) in Öznesi olduğunu, gerçekte ise bu önermelerde yüklem konumunda geçtiğini görüyoruz. Böylece 'insan' sözcüğünün yalnız (3)'te değil. (4) ve (5) te de bir genel terim olduğunu kabul edebiliriz.
Öte yandan, 'mavi' sözcüğünün (6) da genel terim olduğu halde; (7) de tekil terim olduğunu söyleyebiliriz. Nitekim, 'mavi bir renktir' önermesi ne 'bütün maviler bir renktir', ne de 'bazı maviler bir renktir' şeklinde yorumlana-bilir. ('x mavi İse. x bir renktir' açık-önermesinin ön-bileşeni doğru olan •bütün örnek-önermeleri yanlıştır. Nitekim mavi olan nesneler hep somut olduklarından, mavi olan hiç bir nesne bir renk olamaz.) 'Mavi' sözcüğünün
böylece bazı bağlamlarda tekil terim, başka bağlamlarda ise genel terim olabilmesi anl*****n değişmesine bağlıdır. 'Mavi', bir gene! terim olduğu zaman bir takım somut nesnelere uygulanabilen bir somut genel terim, bir tekil terim olması halinde ise soyut bir nesne olan belli bîr rengi adlandıran bir soyut tekil terimdir.
Bazı terimlerin, görünüşte özne konumunda geçtikleri halde, gerçekte yüklem olduklarını gördük. Şimdi ise, .görünüşte yüklem konumunda geç-tikleri halde, gerçekte özne olan terimlerin de bulunduğunu göstereceğiz. Örneğin:
(10) İstanbul un fatihi Sultan II. Mehmet tir
önermesini ele alalım. Bu önermenin görünüşteki yüklemi 'Sultan II. Mehmet' deyimidir. Oysa böyle bir deyim, bir.özel isim olduğundan, açıkça bir tekil terimdir, bir genel terim değil. Dolayısıyla bu deyimin yüklem konu-munda geçmesinin görünüşte kaldığını, gerçekte ise bir özne olduğunu göstermemiz gerekecektir. Nitekim (10) önermesinin mantıksal yapısı
(11) İstanbul un fatihi = Sultan H. Mehmet
yani, 'İstanbul un fatihi ite Sultan //. Mehmet aynı kimsedir' Önermesiyle dile getirilebilir. Oysa (11) önermesi 'x = y' gibi bir 2-li atomsal açık-öner-mede, Y yerine 'İstanbul un fatihi' . 'y' yerine de 'Sultan II. Mehmet' deyim-lerinin konulmasıyla elde edilebilir. Şu halde (11) in yükleminin 'Sultan II. Mehmet' değil, ' = ' deyimi olduğunu görüyoruz. 'Sultan II. Mehmet' deyimi ise (11) önermesinin bîr öznesi durumundadır.
Genel olarak, verilen bir önermede geçen bir tekil terim yerine bir genel terim veya bir genel tecim yerine bir tekil terim konuldukta, sözü geçen önermenin anlamsız bit deyim haline girdiğini söyleyebiliriz. Örneğin, 'Sokrates ölümlüdür' önermesinde geçen 'Sokrates' tekil terimi yerine 'gülüyor' gibi bir genel terimi koymakla elde edilen 'gülüyor ölümlüdür' deyimi anlamsızdır. Aynı şekilde, 'Ölümlüdür' genel terimi yerine 'Ahmet' gibi bir tekil terim koymakla elde edilen 'Sokrates Ahmet tir' deyimi anlam-sızdır. Gerçi bu son deyim, 'Sokrates - Ahmet' biçiminde yorumlanması halinde, anlamlı (yanlış) bir önermedir. Ama bu önerme, mantıksal yapısı bakımından, 'Sokrates ölümlüdür'den değil, ancak 'Sokrates = ölümlü' den elde edilebilir. Oysa bu son deyim anlamsızdır.
Bu özellikten faydalanarak,'görünüşte özne veya yüklem konumunda geçen deyimlerin gerçekte böyle olup olmadıklarım belirten bir ayraç elde edebiliriz. Örneğin, 'bütün insanlar ölümlüdür' önermesinin görünüş-teki öznesi 'insandır. Oysa 'insan' terimini 'ölümlü terimiyle değiş-tokuş etmek suretiyle elde edilen 'bütün ölümlüler insandır' deyimi (anlamlı)
bir önermedir. Bundan ötürü, "insan sözcüğünün 'ölümlü sözcüğü gibi bir gene! terim, dolayısıyla bir yüklem olması gerektiğini görüyoruz. Aynı şekilde, (10) önermesinin görünüşteki yüklemi olan 'Su/tan II. Mehmet' deyimini 'İstanbul un fatihi' deyimiyle değiş-tokuş etmek suretiyle elde edilen 'Sultan İL Mehmet' İstanbul un fatihidir' deyiminin anlamlı bir önerme olmasına bakarak, 'Sultan II. Mehmet' in de, tıpkı 'tstanbul un fatihi' gibi, bir özne olduğu sonucunu çıkarırız.
Genel terimleri, yüklemi oldukları atomsal kalıpların değişken sayısına
göre, 1-li, 2-li n-li, ... genel terimlere ayırabiliriz. Örneğin, 'ölümlü-
dür', 'x ölümlüdür' 1-li atomsal acık-önermesinin yüklemi olduğundan.
bir "/-// genel terim"; 'babasıdır', 'x y nin babasıdır' 2-ti atomsal acık-öner-
mesinin yüklemi olduğundan, bir "2-li genel terim"; 'arasında. 'x. y ile
z nin arasındadır' 3-lü atomsal açık-önermesinin yüklemi olduğundan, bir
3-iü genel terim"d\r. '1 -li, 2-li n-!i genel terim' yerine '1-Iİ, 2-îi
n-li yüklem' de denir.
1-li genel terimler (yani 1-li yüklemler) "özellik terimleri", 2-li, 3-lü, ... genel terimler ise "bağıntı terimleri"^. Böylece genel terimleri. Özellik terimleri ve bağıntı terimleri olmak üzere, iki geniş öbeğe; bağıntı terimlerini de 2-Iİ, 3-lü, ... bağıntı terimleri gibi ayrı ayrı öbeklere ayırabiliriz. Özellik terimlerine Örnek olarak ('insan gibi) cins isimleri, ('mavi" gibi) niteleme sıfatları, ('ölüyor' gibi) geçişsiz fiiller; bağıntı terimlerine örnek olarak da
(seviyor, 'veriyor' gibi) geçişli fiiler, 'yanında, 'üstünde, 'arasında gibi çeşitli sözcükler gösterilebilir.
"Tekil terimler"E gelince: bütün özel isimleri bu öbeğe sokmamız müm-kündür. Ancak, özel isimlerin (basit) tekil terimleri hiç de tüketmediğini belirtmek gerek. 'Bu kalem'.'o adam'.... gibi bir tek somut nesneyi gösteren deyimler; 'mavilik', 'insanlık', 'erdem'. '3', '12', ... gibi bir tek soyut nesneyi
gösteren sözcükler veya semboller de tekil terimlerdir.
'Tekil terim deyimi yerine 'ad' sözcüğünü de kullanıyoruz, örneğin, 'bu kalem deyimini belli bir kalemin adı, '3" sembolünü de belli bir sayının adı sayıyoruz. Bu gibi "değişmez" adların (veya değişmez tpkii terimlerin) yanı sıra, bir de "değişken" adlardan söz etmek mümkündür. Nitekim V, 'y',... gibi değişkenler belirli nesnelerin adı olmamakla birlikte. bir çok ayrı ayrı nesnenin (değerlerin) "cok-anlamlı" adı sayılabilir. Günlük dildeki zamirlerin bir bakıma değişken adlar durumunda olduğunu daha önce belirtmiştik.
1.NİCELEYİCİLER
Burada "önermeler mantığının basit önermeleri" incelemek ama-cındayız. Böylece önermeler mantığı açısından basit yani "bölünmez" olan bazı önermelerin de bir takım yapı-taşlarının yani daha "ince" atomsal bileşenlerden kurulu olduğunu göreceğiz. Örneğin,
(1) Bütün insanlar ölümlüdür
önermesini ele alalım. Bu, önermeler mantığı açısından bir basit önermedir. Gerçi, (1) İn bîr kısmı olan 'insanlar ölümlüdür' deyimi de tek başına bir Önerme sayılır; ama böyle bir önerme 'bütün insanlar ölümlüdür ün bir kı-saltmasından başka bir şey değildir. Böylece, (1) in kendinden başka hiçbir kısmının bir önerme olmadığını söyleyebiliriz.
imdi, (1) önermesini
İnsan olan her nesne Ölümlü bir nesnedir
biçiminde yorumlamak mümkündür. Herhangi bir nesneyi belirtmek için V gibi bir değişken kullandıkta, (1) İ
insan olan her x, ölümlü bir tir biçiminde dile getirebiliriz. Bu son önerme ise
(2) her x için; x bir insan ise, x ölümlüdür
anlamına gelir. (2) önermesini,
x ne olursa olsun; x bir insan ise, x ölümlüdür biçiminde de dile getirebiliriz.
şİmdi, 'ise' yerine '→' işaretini kullanmak suretiyle, (2) yi
(3) her x için [(x bir insandir) → (x ölümlüdür)]
biçimine çevirebiliriz. (3) önermesinin (kendinden başka) hiçbir kısmı bir önerme değildir. Nitekim, ne '(x bir insandır) → (x ölümlüdür)', ne 'x bir insandır', ne de 'x ölümlüdür' (doğru veya yanlış niteliğini taşıyamadığın-dan) bir "önerme" değildir. Örneğin.
(4) x bir insandır
deyimini ele alalım. Burada geçen V değişkeni hiçbir belli nesne veya kimse-nin adı değildir. Ancak V in birçok "değerleri" vardır: V in her değeri belli bir dil-dışı nesne (veya kimse) dir, V in yerine konulabilen bir deyim değil. Örneğin, 'Sokrates adlı filozof 'x' in bir değeridir, ama bu filozofun adı olan 'Sokrates' sözcüğü V in bir değeri değil, bîr "yerine-koyma örneği"^.
'x' değişkeninin her "yerine-koyma örneği" (yani V in yerine konulabi-len her deyim) genellikle V in değerler: olan nesnelerden birinin adıdır. 'x bir insandır' gibi bir deyimden, V i onun yerine-koyma örneği olan bir adla değiştirmek suretiyle (doğru veya yanlış) bir önerme elde edebiliriz. Örneğin, V yerine 'Sokrates' adını koymakla 'Sokrates insandır' gibi doğru bir önermeyi, V yerine 'Çoban yıldızı' adını koymakla 'Çoban yıldızı bîr İnsandır' gibi yanlış bir önermeyi elde ederiz. 'x' İn yerine-koyma örneği olan bir adın adlandırdığı nesne 'x' in bir değeri"\ sayılır. Buna göre. Çoban yıldızının da V in bir değeri olduğunu görüyoruz. Böylece 'x bir insandır' türünden bir deyimde geçen V değişkeninin değerleri sadece insanlar değil, her türlü (somut) nesnelerdir. Her (somut) nesnenin bir adı olmadı-ğından, V in değerleri sadece 'x' in yerine-koyma örneği olan deyimlerin adlandırdığı nesnelerden ibaret değildir. Ancak, V in değeri olan her nesne için "bu nesnenin bir adı olsaydı, bu ad V in bir yerine-koyma örneği olurdu" diyebiliriz.
İmdi. Y değişkeni, 'p' temsilci-harfi gibi (bir takım "yerine koyma-örnekleri" olmasından ötürü) bir "değişen" dir. Ancak V gibi bir değişenin birtakım değerleri olduğu halde (yani 'x' in yerine-koyma örnekleri bir-takım dil-dışı nesnelerin adları oldukları halde),'p' gibi bir değişenin yerine-koyma örnekleri (yani "yorumlar')") hiçbir nesnenin adı değildir. Temsilci-harfler, yerine-koyma örnekleri olmakla birlikte, değerleri olmayan değişen-lerdir. Böylece "değişenler"!, değerleri olup olmadığına bakarak, "değiş-kenler" ve "temsilci-harfler" olmak üzere iki öbeğe ayırıyoruz.
'x insandır' gibi bir deyim bir "açık-önerme"dir. Bir açık-önerme (bir önerme kalıbı gibi), içinde geçen değişkenin veya değişkenlerin yerine birer
yerine-koyma örneği koymak suretiyle (doğru veya yanlış) bir önerme haline girer. Böyle bir önerme açık önermenin bir "yorumu" değil, bir "ömek-önerme" sidir. Böylece 'Sokrates bir insandır'. 'x bir insandır' öner-me-kalıbının doğru bir örnek-önermesi, 'Çoban yıldızı bir insandır da yanlış bir örnek-önermesidir.
Şimdi (3) önermesinde geçen
(5) (x bir insandır) → (x ölümlüdür)
açık-önermesini e!e alalım. Bu açık-önermenin örnek-önermeleri '(Sokrates bir insandır) → (Sokrates ölümlüdür)'. '(Çoban yıldızı bir insandır)-→(Çoban yıldızı ölümlüdür) ', '(bu masa bir insandır)→ (bu masa ölüm-lüdür)'..,, gibi belirsiz sayıda bir çok şartlı-önermelerdir. Bir şartlı-önermenin ön-bileseni yanlış İse tümü doğru olduğundan, ancak ön-bileşeni doğru olanlarının tümü yanlış olabilir. Dolayısıyla, ancak V in yerine bir İnsan adı koymamız halinde (5) in yanlış bir örnek-önermesini beklemek müm-kündür.
imdi, (3) önermesinin doğruluğunun gerekli (ama yeterli olmayan) şartı (5) acık-önermesinin bütün örnek-önermelerinin doğru olmasıdır. Ön-bileşeni yanlış olan örnek-önermeler, olgular ne otursa olsun doğru olduğundan, sözü geçen gerekli şartı sadece ön-önermesi doğru olan örnek-önermelere sınırlayabiliriz. Başka bir deyimle, (3) ün doğruluğunun gerekli şartı, (5) in ön-bileşeni doğru olan ('Sokrates insandır-*- Sokrates ölüm-lüdür'. 'Ahmet insandır -* Ahmet ölümlüdür... gibi) bütün örnek-öner-melerinin doğru olmasıdır. Bu örnek-önermelerin bir tekinin bile yanlış-lığı (3) önermesini yanlışlar.
Görüldüğü gibi, (3) önermesinin doğruluk-değeriyle (5) acık-önerme-sinin örnek-önermelerinin doğruluk-değerleri arasında belli bir bağıntı vardır. Bu bağıntı ise 'her x için' deyimiyle belirlenmiştir. Bu deyimin görevi bitişik olduğu önerme-kalıbını "nicelemek"tir. Bu bakımdan böyle bir deyime bir "niceleyici" denir. Bir niceleyicinin ilişkin olduğu önerme kalı-bına da niceleyicinin "etki-alanı" denir. Örneğin. (3) önermesinde 'her x için niceleyicisinin etki-alanı, (5) önerme-kalıbından ibarettir. 'Her x için' deyimi yerine 'V*' sembolik deyimi kullanılır. Böylece, (1) önermesi-nin mantıksal yapısını
(6) V* £(x bir insandır)-* (x ölümlüdür)]
biçiminde dile getiririz.
Değişken olarak V harfinden başka 'y'. :z', 'u'. V. 'W harfleri de (in-dişli veya indissiz, uslu veya üssüz olarak) kullanılır, 'Vs', 'Vy', Vz'
gibi bir deyime, bir açık-önermeden bir "tümel-önerme" elde etmeye yaradığından, "tümel niceleyici" denir. V sembolüne de "tümel niceleme
işareti" diyoruz.
Şimdi de
(7) Bazı omurgalılar memelidir
önermesinin mantıksal yapısını inceleyelim. Bu önerme
(8) Hem omurgalı hem memeli olan (hiç olmazsa) bir nesne vardır
biçiminde yorumlanabilir. Nitekim hem omurgalı hem memeli olan hiçbir nesne olmasaydı, (7) yanlış olurdu. Öte yandan, hem omurgalı hem memeli olan bir tek nesnenin varolması halinde bile (7) doğrudur. (8) önermesini V gibi bir değişken yardımıyla
öyle bir x vardır ki, (x omurgalıdır) ve (x memelidir) yani
(9) öyle bir x vardır ki [(x omurgalıdır) (x memelidir)]
biçimine dönüştürebiliriz.
(7) önermesi ((1) gibi). Önermeler mantığı açısından basit bir öner-medir. Nitekim,'omurgalılar memelidir', (7) nin tek başına önerme durumun-da olan bir kısmı olmakla birlikte, ('bütün omurgalılar memelidir anlamına
geldiğinden) halis bir bileşeni sayılmaması gerekir. Bunu (9) önermesinde daha açık olarak görüyoruz: (9) un kendinden başka hiçbir kısmının bir önerme olmadığı meydandadır. Nitekim (9)
(10) (x omurgalıdır) (x memelidir)
açık önermesinin önüne 'öyle bir x vardır ki' deyiminin konulmasıyla elde edilmiştir. Bu son deyim İse bir "niceleyicidir". Böyle bir niceleyiciye "var-lıksal niceleyici" denir. 'Öyle bir*x vardır ki' deyimi yerine sembolik ola-rak '3x' deyimi kullanılır. Böylece (9) önermesini
(11) x[{x omurgalıdır) (x memelidir)]
biçiminde dile getiririz. ' ' sembolüne "varlıksal niceleme işareti" diyoruz. Bu işaretin önüne x, 'y'. ... gibi herhangi bir değişken konularak ' x',
' y'... gibi varlıksal niceleyiciler elde edilir.
Bir varlıksal niceleyici (bir turne! niceleyici gibi), etki-alanı durumunda olan acık-Önermeyi nicelemeye yarar. Ancak tümel niceleme halinde, mey-dana gelen önermenin doğruluğu için önerme-kalıbının bütün örnek-öner-melerinin doğru olması gerektiği halde, varlıksal niceleme halinde örnek-önermelerinin bir tekinin doğruluğu yeter. Örneğin, (10) un bir örnek-önermesi olan
(bu kedi omurgalıdır) (bu kedi memelidir) önermesinin doğruluğu (9) önermesinin doğruluğu için yeterli bir şarttır.
Önünde bir tümel niceleyici bulunan her önermeye "tümel önerme",. önünde bir varlıksal niceleyici bulunan her önermeye de "varlıksal önerme" (veya eski deyimiyle "tikel önerme"} denir. Gerek tümel önermeler, gerekse varlıksal önermeler "genel önerme/eredir. Hiçbir niceleyiciyi içine almayan önermeler ise "tekil önermeler" dir.
Böylece bütün önermeleri (I. Bölümün basında belirttiğimiz gibi) "tekil önerme/er" ve "genel önermeler' olmak üzere iki geniş öbeğe ayırabiliriz. Genel önermeleri ((1) veya (6) gibi) "tümel önerme/er" ile ((7) veya (11) gibi) "varlıksal önermeler"e (yani "tikel önermeler'e) ayırı-yoruz. Tekil önermeleri ise "basitteki! önermeler" ve "bileşik tekil Önermeler" olmak üzere iki öbeğe ayırabiliriz. Örneğin, 'Sokrates bir insandır' bir basit tekil önerme, '(bu kedi omurgalıdır) (bu kedi memelidir}' bir bile-şik tekil önermedir.
'x' gibi bir değişkenin değerleri olan nesnelerin tümüne x değişkeninin "değer-alanı" denir. V. 'y',... gibi birçok ayrı ayrı değişkenler kullandığımız halde, her birinin değer-alanının aynı olduğunu kabul ederiz. Bütün bu değiş-kenlere ortak olan değer-alanı, geçmişte, şimdiki zamanda veya gelecekte var olan bütün (canlı veya cansız) somut nesnelerden ibarettir. İmdi değer-alanının her üyesinin, yani her somut nesnenin bir ve yalnız bir tek adı olduğunu, aynı somut nesnelerin de ayrı adları olduğunu kabul edelim. Bu adlar 'a/, 'a2',... olsun. O zaman (6) gibi bir tümel önermenin doğrulu-ğunun gerekli ve yeterli şartı. (5) Önerme-kalıbının bütün Örnek-önerme-lerinin doğruluğundan ibaret olur. (Bu şart, her değerin bir adı olmaması halinde sadece gerekli olup yeterli değildir.) Aynı şekilde, (11) gibi bir varlıksal önermenin doğruluğunun gerekli ve yerer// şanı (10) önerme-kalıbının örnek-önermelerinden hiç olmazsa birinin doğru olmasıdır. (Bu şart, her değerin bir adı olmaması halinde, sadece yeterli olup gerekli değildir.)
Değer-alanının sonlu olması, yani a, ... a gibi n tane nesneden ibaret olması halinde, her nesnenin de belli bir adı olduğunu kabul ederek, sözü geçen şartları şöyle dile getirebiliriz:
a. Bir tümel-önermenin doğruluğunun gerekli ve yeterli şartı, bu öner-
menin etki-alanı olan önerme-kalıbının bütün örnek-önermelerinin bir-
likte-evetlemesinin doğru olmasıdır.
b. Bir varlıksal önermenin doğruluğunun gerekli ve yeterli şartı, bu
önermenin etki-alanı olan önerme-kalıbının bütün Örnek-önermelerinin
ayrıklığının doğru olmasıdır.
Buna göre. 'bulun insanlar ölümlüdür' gibi bir tümel önermeyi:
( bir insansa a ölümlüdür) ve ... ve (an bir İnsansa an ölümlüdür)
biçiminde; 'bazı omurgalılar memelidir' gibi bir varlıksal önermeyi de a omurgalı ve memelidir) veya ... veya (a omurgalı ve memelidir)
biçiminde yorumlayabiliriz.
Böylece değişkenlerin değer-alanının sonlu olması ve her değerin belli bir adının olması halinde, niceleyiciler yerine önerme-eklemlerini kullan-mak mümkündür. Ancak gerçekte, değer-alam, yani somut nesnelerin tümü, sonsuz veya hiç değilse sınırsız olduğundan, önerme eklemleriyle yetineme-yiz; niceleyicileri de kullanmamız gerekir. Böylece önermeler mantığının yanı' sıra ondan daha geniş olan bir "nice/eme mantığı" nın olduğunu anlıyoruz.
Niceleme mantığında, içinde V gibi bir değişkenin geçtiği herhangi bir "acık-önerme" Fx'. 'Gx', 'Hx',... gibi "açık önerme -kalıbı" denilen de-yimlerle temsil edilir. 'F'. 'G', 'H', ... harfleri temsilci harflerdir; ancak
bunlar 'p', 'q', 'r' harflerinden farklı olarak, .önermeleri değil, 'yüklemler' \
temsil ederler. Bu bakımdan, bunlara "yüklem-temsilcisi harfler" veya kısaca "yüklem temsilcileri" diyoruz.
'Fx' kalıbını 'x, F dır' şeklinde okuyabiliriz. O zaman
(12) xFx
kalıbını 'x ne olursa olsun, xF dır' veya 'her nesne F dir' biçiminde;
(13) ΞxFx
kalıbını da 'öyle bir x vardır kr.. x.F dir' veya 'F olan bir x vardır biçiminde dile getirebiliriz. Buna göre,
(14) ~ xFx
"(her nesne F d/r) değil" (yani "her nesnenin F olduğu doğru değildir") anlamına gelir. Oysa bu deyimin "F olmıyan bir nesne vardır" anlamına geldiği meydandadır. Bu son deyim ise
(15) Ξx~Fx
biçiminde dile getirilir. Böylece (14) ile (15) in eşdeğer olduğunu görü-yoruz.
Öte yandan,
(16) ~ΞxFx
"F olan bîr nesnenin varolduğu doğru değildir" anlamına gelir. Oysa, bu deyim "hiçbir nesne F değildir" yani "x ne olursa olsun, x F değildir" ile eş-anlamlıdır. Bu ise
(17) Vx~Fx,
biçiminde dile getirilir. Şu halde (16) ile (17) nin eşdeğer olduğunu görü-yoruz. (14) ile (15) in ve (16) ile (17) nin eşdeğerliğini şöyle dile getiri-yoruz:
(18) ~VxFx = Ξx~Fx
(19) ~ΞxFx • Vx~Fx
(18) eşdeğerliğinin iki yanını değillemek suretiyle
(20) VxFx - ~Ξx~Fx
eşdeğerliğini; (19) un ikî yanını değillemek suretiyle de
(21) ΞxFx - ~Vx~Fx
eşdeğerliğini elde ederiz.
(20) eşdeğerlisine dayanarak tümel niceleyicinin varlıksal niceleyici türünden tanımlanabildiğim, (21) eşdeğerliğine dayanarak da varlıksal niceleyicinin tümel niceleyici türünden tanımlanabildiğim söyleyebiliriz.
Klâsik mantıkta "kategorik" denilen önermeler A (tümel eveîleyici), £ (tümel değilleyici), / (tikel evetleyici) ve O (tikel değilleyici) olmak üzere dört Öbeğe ayrılır. Bu dört çeşit önermeyi 'S' ve 'P' gibi iki terim-ternsilcisi
yardımiyle şöyle temsil edebiliriz:
(A) Bütün S !er P dir
(E) Hiçbir S P değildir
(İ) Bazı S ler P dir
(O) Bazı S İer P değildir
(6) ve (11) önermelerini örnek alarak, A türünden Önermelerin
(22) Vx[(x S dir) → (x P dir)]
biçiminde, / türünden önermelerin i^e
(23) Ξx[(x S dir) Λ (x P dir)]
biçiminde dile getirilebileceğini görüyoruz.
imdi ıdâsik mamıkta bir yandan A ile O nün, öbür yandan da £ ile / nm çelişik, yani birbirinin değillemesi olduğu gösterilir. Buna göre, O türünden önermeleri (22) nin değillemesi şeklinde, E türünden önermeleri de (23) ün değillemesi şeklinde dile getirebiliriz. (22) nin değillemesi olan
~Vx[(x S dir)→ (x P dir)] kalıbını, (18) eşdeğerliği gereği,
Ξx~[(x S dir) → (x P dir)]
biçimine dönüştürebiliriz. Bu son kaifpta niceleyicinin etki-aianı olan açık-önerme ~ (p -* q)' biçimindedir. Bu ise 'pq* ile eşdeğerdir. Böylece O biçimindeki önermelerin, (22) nin değillemesi olarak,
(24) Ξx[(x S dir) Λ ~(x,P değil)]
biçiminde temsil edilebildikleri sonucuna varıyoruz.
£ türünden önermeleri temsil etmek için de (23) ün değiltemesi olan
~Ξx[(x S'dir) Λ (x P dir)] kalıbını göz önüne alırız. Bu kalıbı, (19) eşdeğerliği gereği,
Vx-[(xS dir) Λ (x P dir)] biçimine, bunun da etki-atanı ~(pq)' biçiminde olduğundan ('~(pq)'
nün DeMorgan kanunu gereği 'p V q', dolayısıyla 'p → q' ile eşdeğer olmasına dayanarak),
(25) Vx[(x S dir) → (x P değil)]
biçimine dönüştürebiliriz. Böylece E türünden Önermelerin (25) kalıbı ile temsil edilebildiğini görüyoruz.
2. TEKİL TERİMLER ve GENEL TERİMLER
Şimdi önermeler mantığının bel kemiği durumunda olan açık-önermeleri daha yakından inceleyelim. Kendinden başka hiçbir kısmı bir acık-Önerme olmayan bir açık-Önermeye atomsal açık-önerme diyeceğiz, örneğin, 1'dekİ (5) acık-önermesi 'x bir İnsandır' ve 'x Ölümlüdür' olmak üzere iki ayrı atomsal açık-önermeden kurulu bir molekülsel açı k-Önermedir. Her atomsal açık-Önermede bir veya bir kaç değişken bulunur. Bir tek de-ğişkeni olan bir atomsal açık-önermeye 7-// atomsal açık-Önerme. iki ayrı
değişkeni olan atomsal açık-Önermeye 2-li atomsal açık-Önerme n tane
ayrı değişkeni olan bir atomsal açık-onermeye de n-li atomsal açık-önerme denir. Örneğin, 'x bir insandır' bir 1-ii atomsal açık-önerme, '* y nin babasıdır' bir 2-li atomsal açık-önerme, *x, y ile z nin arasındadır' bir 3-lü atomsal açık-önermedir. Bir atomsal açık-önermenin her örnek-önermesi (yani içinde geçen değişkenlerin yerine birer ad koymakla elde edilen önerme) bir atomsal tekil önermedir. Örneğin, sözü geçen atomsal açık-önerme-lerin örnek-önermeleri olan 'Sokrates ölümlüdür'. 'Ahmed Behçed'in ba-basıdır' ve 'B noktası, A noktasıyla C noktasının arasındadır' atomsal tekil önermelerdir.
$imdi
(1) Sokrates ölümlüdür
atomsa! tekii önermesinin mantıksal yapısını inceleyelim. Gerek günlük dilin grameri gerekse klâsik mantık açısından, 'Sokrates' deyimine (1) önermesinin "özne"si, 'ölümlü' deyimine de (1) önermesinin "yüklem"i denir. 'Dır'. 'dür' gibi deyimlere ise önermenin "koşaç"\ (copula) denir. Modern mantık açısından koşacı yüklemin ayrılmaz bir parçası saymak elverişlidir. Buna göre, bir yüklemi hep bir "fiil" şeklinde yorumlıyacağız. Klâsik mantığın koşacını, bir isim veya sıfatı fiil biçiminde bir deyim haline getirmeğe yarı-yan bir sonek olarak yorumlayacağız. Örneğin, 'ölümlü sıfatını 'dür' soneki yardımiyle fiil biçiminde olan 'ölümlüdür' deyimine, 'insan' gibi bir ismi de 'dır' soneki (ve 'bir öneki) yardımiyle 'insandır' (veya 'bir İnsandır'} gibi fiil biçiminde olan bir deyime çeviririz.
İmdi,
(2) x ölümlüdür
gibi bir atomsa! acık-önermeyi inceleyelim. Bu açık-önerme V değişke-nliyle 'ölümlüdür' deyiminden ibarettir. 'Ölümlüdür' deyimi, (2) açık-öner-rnesinin ((1) gibi) her örnek-önermesinin yüklemidir. Bu özellikten dolayı, 'ölümlüdür' deyiminin (2) atomsa! açık-önermesinin "yüklem"i olduğu söylenir. Genel olarak, herhangi bir atomsal açık-önermede bütün değiş-kenlerin kaldırılması sonucunda geri kalan kısma atomsal açık-önermenin yüklemi denir. Böylece her atomsal açık-önermenin bir veya bir kaç de-ğişkenle bir tek yüklemden kurulu olduğunu söyleyebiliriz.
Görüldüğü gibi, verilen bir atomsal açık-önermenin yüklemini tespit etmek için "kullanan" veya "dil-dışı karşılık" faktörünü hiç hesaba kat-madan sadece deyimin biçimine bakmak yetiyor. Örneğin 'x y n/n babasıdır' atomsa! açık-önermesinin yüklemi, bu deyimde 'xr ve 'y'- harf-lerinin dışında kalan bütün kısımların tümünden başka bir şey değildir. Dolayısıyla bu yüklem, 'nin babasıdır' dan ibarettir. Aynı şekilde, 'x, y ve z nin arasındadır' atomsal açık-önermesinin yükleminin ',.. ve ... nin ara-sındadır' dan İbaret olduğunu söyleyebiliriz. Sembolik dilde bu gibi "sürek-siz" yüklemler yerine hep sürekli deyimler kullanılır. Örneğin, sözü geçen iki atomsal acık-önermeden, birincisini
Baba(x, y) veya' kısaca 'B(x, y)'; ikincisini de
Arasında(x. y, z) veya kısaca 'A(x. y. z}' biçiminde dile getiririz.
Yüklem olan deyim, yalnız çok değişkenli atomsal açık-önermeler halin-de değil. 1-li atomsal açık-önermeler halinde de değişkenin önünde yazılır.
Örneğin (2) atomsal açık-önermesini
Ölürnlû(x) veya kısaca 'Ö(x)'. ya da 'Öx' biçiminde yazarız.
Öte yandan, bir 1-Iİ atomsal açık-Önermenin örnek-önermesi olan her önermenin öznesi, söz konusu atomsal açık-önermede değişken yerine konulan deyimden ibarettir. Örneğin (1) önermesinin öznesi, (2) atom-sal açık-Önermesinden (1) önermesini elde etmek için Y değişkeni yerine konulan 'Sokrates' deyiminden ibarettir. Genel olarak, herhangi bir atomsal tekil önermenin "özneler"m\ bu önermeyi elde etmek için baş-vurulan atomsal açık-önermenin değişkenleri yerine konulan deyimler şeklinde tanımlıyoruz. Örneğin, 'Ali Behçedin babasıdır' önermesini elde etmek İçin 'x y nin babasıdır' atomsal açık-önermesinde Y yerine 'AH', 'y' yerine de 'Behçet' deyimini koyduğumuza göre, sözü geçen öner-menin öznelerinin 'Ali' ve 'Behçet' deyimlerinden ibaret olduğunu söyle-riz. Böylece atomsal önermenin bir tek yüklemi olduğu halde, birden çok öznesi olabildiğini kabul edeceğiz.
'Özne' ve 'yüklem' deyimlerini bu şekilde tanımladıktan sonra, bu iki kavram yardımıyla herhangi bir dilin terimlerini "tekil terimler" ve "genel terimler" olmak üzere iki öbeğe ayırabiliriz: Bir " tekil-terim" \, bir önermenin öznesi olabilen bir deyim olarak; bir "genel terim"\ de bir önermenin yük-lemi olabilen bir deyim olarak tanımlıyoruz. Buna göre, bir "terim" (yani bir tekil veya genel terim), bir önermenin öznesi veya yüklemi olabilen bir deyim şeklinde tanımlanabilir. Bir önermenin öznesi veya yüklemi bir tek sözcükten ibaret olduğu gibi, pirden çok sözcükten kurulu bileşik bir deyim de olabilir. Örneğin (1) 'önerme'sinin gerek öznesi ('Sokrates') gerekse yüklemi ('ölümlüdür') bir tek sözcükten ibarettir. Bu gibi terimlere "basit terim" diyoruz. ('Sokrates' bir basit tekil terim, 'ölümlüdür' de bir basit genel terimdir.) Öte yandan, 'bu masa dört köşelidir' atomsal önermesinin gerek öznesi ('bu masa) gerekse yüklemi ('dört köşelidir') iki sözcüklü "bileşik terimler" dir. ('Bu masa' bir bileşik tekil terim, 'dört köşelidir' de bir bileşik genel terimdir.)
Bileşik terimler yalnız iki sözcüklü değil, çok daha karmaşık da olabi-lirler. Örneğin. 'Ahmedin üçüncü oğlunun geçen yıl satın aldığı mavi ceket' gibi bir deyim bir önermenin öznesi olabildiğinden, bir tek "bileşik tekil terim" sayılmalıdır. Aynı şekilde, 'baldıran içmek suretiyle ölmüştür' deyimi bir önermenin yüklemi olabildiğinden, bir tek "bileşik genel terim" durumundadır.
Tekil ve genel terimler arasındaki ayrımı incelemek amacıyla aşağıdaki önermeleri göz önüne alalım;
(3) Ahmet bir insandır.
(4) Bütün insanlar ölümlüdür.
(5) Bazı insanlar filozoftur.
(6) Gök mavidir.
(7) Mavi bir renktir.
'İnsan' sözcüğü (3) te yüklem konumunda, (4) ve (5) te ise özne ko-numunda geçiyor. 'Mavi' sözcüğü de (6) da yüklem konumunda, (7) de ise özne konumunda geçiyor. Böylece aynı bir terimin, bağlamına göre, "tekil" veya "genel" olabileceği sanılabilir. Oysa, biz aynı terimin, anlamı değiş-meksizin, hem tekil hem genel olamayacağını kabul ediyoruz. Şu halde, belli bir terimin bir önermede özne, başka bir önermede yüklem konumunda geçmesi halinde; ya bu terimin ikinci önermedeki anl*****n birincisindeki anlamından farklı olduğunu, (yani terimin "çok-anlamlı" olduğunu), ya da bir terimin belli bir önermede görünüşte "özne" olarak geçtiği halde, gerçekte "yüklem" olabileceğini: veya görünüşte "yüklem" olarak geçtiği halde, gerçekte "özne" olabileceğini kabul etmek zorundayız. İmdi, 'insan' sözcüğünün (4) ve (5) önermelerinde görünüşte (yani günlük dilin grame-riyle bu grameri geniş ölçüde izleyen klâsik mantık gereğince) özne konu-munda geçtiği halde, gerçekte (yani modern mantık ve semiotik açısın-dan) yük/em sayılması gerektiğini gösterebiliriz. Nitekim, §1 de belirtil-dîği gibi, (4) ün mantıksal yapısı
(8) V[(x bir insandır) → (x ölümlüdür)]
önermesiyle dile getirilmektedir. (5) in mantıksal yapısı da
(9) Ξx[(x bir insandır) Λ (x bir filozoftur)]
biçiminde dile getirilir. Oysa, 'insan' sözcüğü gerek (8) gerekse (9) da 'x bir insandır' atomsal kalıbının yüklemi olarak geçiyor. Şu halde, 'insan sözcü-ğünün ancak görünüşte (4) ve (5) in Öznesi olduğunu, gerçekte ise bu önermelerde yüklem konumunda geçtiğini görüyoruz. Böylece 'insan' sözcüğünün yalnız (3)'te değil. (4) ve (5) te de bir genel terim olduğunu kabul edebiliriz.
Öte yandan, 'mavi' sözcüğünün (6) da genel terim olduğu halde; (7) de tekil terim olduğunu söyleyebiliriz. Nitekim, 'mavi bir renktir' önermesi ne 'bütün maviler bir renktir', ne de 'bazı maviler bir renktir' şeklinde yorumlana-bilir. ('x mavi İse. x bir renktir' açık-önermesinin ön-bileşeni doğru olan •bütün örnek-önermeleri yanlıştır. Nitekim mavi olan nesneler hep somut olduklarından, mavi olan hiç bir nesne bir renk olamaz.) 'Mavi' sözcüğünün
böylece bazı bağlamlarda tekil terim, başka bağlamlarda ise genel terim olabilmesi anl*****n değişmesine bağlıdır. 'Mavi', bir gene! terim olduğu zaman bir takım somut nesnelere uygulanabilen bir somut genel terim, bir tekil terim olması halinde ise soyut bir nesne olan belli bîr rengi adlandıran bir soyut tekil terimdir.
Bazı terimlerin, görünüşte özne konumunda geçtikleri halde, gerçekte yüklem olduklarını gördük. Şimdi ise, .görünüşte yüklem konumunda geç-tikleri halde, gerçekte özne olan terimlerin de bulunduğunu göstereceğiz. Örneğin:
(10) İstanbul un fatihi Sultan II. Mehmet tir
önermesini ele alalım. Bu önermenin görünüşteki yüklemi 'Sultan II. Mehmet' deyimidir. Oysa böyle bir deyim, bir.özel isim olduğundan, açıkça bir tekil terimdir, bir genel terim değil. Dolayısıyla bu deyimin yüklem konu-munda geçmesinin görünüşte kaldığını, gerçekte ise bir özne olduğunu göstermemiz gerekecektir. Nitekim (10) önermesinin mantıksal yapısı
(11) İstanbul un fatihi = Sultan H. Mehmet
yani, 'İstanbul un fatihi ite Sultan //. Mehmet aynı kimsedir' Önermesiyle dile getirilebilir. Oysa (11) önermesi 'x = y' gibi bir 2-li atomsal açık-öner-mede, Y yerine 'İstanbul un fatihi' . 'y' yerine de 'Sultan II. Mehmet' deyim-lerinin konulmasıyla elde edilebilir. Şu halde (11) in yükleminin 'Sultan II. Mehmet' değil, ' = ' deyimi olduğunu görüyoruz. 'Sultan II. Mehmet' deyimi ise (11) önermesinin bîr öznesi durumundadır.
Genel olarak, verilen bir önermede geçen bir tekil terim yerine bir genel terim veya bir genel tecim yerine bir tekil terim konuldukta, sözü geçen önermenin anlamsız bit deyim haline girdiğini söyleyebiliriz. Örneğin, 'Sokrates ölümlüdür' önermesinde geçen 'Sokrates' tekil terimi yerine 'gülüyor' gibi bir genel terimi koymakla elde edilen 'gülüyor ölümlüdür' deyimi anlamsızdır. Aynı şekilde, 'Ölümlüdür' genel terimi yerine 'Ahmet' gibi bir tekil terim koymakla elde edilen 'Sokrates Ahmet tir' deyimi anlam-sızdır. Gerçi bu son deyim, 'Sokrates - Ahmet' biçiminde yorumlanması halinde, anlamlı (yanlış) bir önermedir. Ama bu önerme, mantıksal yapısı bakımından, 'Sokrates ölümlüdür'den değil, ancak 'Sokrates = ölümlü' den elde edilebilir. Oysa bu son deyim anlamsızdır.
Bu özellikten faydalanarak,'görünüşte özne veya yüklem konumunda geçen deyimlerin gerçekte böyle olup olmadıklarım belirten bir ayraç elde edebiliriz. Örneğin, 'bütün insanlar ölümlüdür' önermesinin görünüş-teki öznesi 'insandır. Oysa 'insan' terimini 'ölümlü terimiyle değiş-tokuş etmek suretiyle elde edilen 'bütün ölümlüler insandır' deyimi (anlamlı)
bir önermedir. Bundan ötürü, "insan sözcüğünün 'ölümlü sözcüğü gibi bir gene! terim, dolayısıyla bir yüklem olması gerektiğini görüyoruz. Aynı şekilde, (10) önermesinin görünüşteki yüklemi olan 'Su/tan II. Mehmet' deyimini 'İstanbul un fatihi' deyimiyle değiş-tokuş etmek suretiyle elde edilen 'Sultan İL Mehmet' İstanbul un fatihidir' deyiminin anlamlı bir önerme olmasına bakarak, 'Sultan II. Mehmet' in de, tıpkı 'tstanbul un fatihi' gibi, bir özne olduğu sonucunu çıkarırız.
Genel terimleri, yüklemi oldukları atomsal kalıpların değişken sayısına
göre, 1-li, 2-li n-li, ... genel terimlere ayırabiliriz. Örneğin, 'ölümlü-
dür', 'x ölümlüdür' 1-li atomsal acık-önermesinin yüklemi olduğundan.
bir "/-// genel terim"; 'babasıdır', 'x y nin babasıdır' 2-ti atomsal acık-öner-
mesinin yüklemi olduğundan, bir "2-li genel terim"; 'arasında. 'x. y ile
z nin arasındadır' 3-lü atomsal açık-önermesinin yüklemi olduğundan, bir
3-iü genel terim"d\r. '1 -li, 2-li n-!i genel terim' yerine '1-Iİ, 2-îi
n-li yüklem' de denir.
1-li genel terimler (yani 1-li yüklemler) "özellik terimleri", 2-li, 3-lü, ... genel terimler ise "bağıntı terimleri"^. Böylece genel terimleri. Özellik terimleri ve bağıntı terimleri olmak üzere, iki geniş öbeğe; bağıntı terimlerini de 2-Iİ, 3-lü, ... bağıntı terimleri gibi ayrı ayrı öbeklere ayırabiliriz. Özellik terimlerine Örnek olarak ('insan gibi) cins isimleri, ('mavi" gibi) niteleme sıfatları, ('ölüyor' gibi) geçişsiz fiiller; bağıntı terimlerine örnek olarak da
(seviyor, 'veriyor' gibi) geçişli fiiler, 'yanında, 'üstünde, 'arasında gibi çeşitli sözcükler gösterilebilir.
"Tekil terimler"E gelince: bütün özel isimleri bu öbeğe sokmamız müm-kündür. Ancak, özel isimlerin (basit) tekil terimleri hiç de tüketmediğini belirtmek gerek. 'Bu kalem'.'o adam'.... gibi bir tek somut nesneyi gösteren deyimler; 'mavilik', 'insanlık', 'erdem'. '3', '12', ... gibi bir tek soyut nesneyi
gösteren sözcükler veya semboller de tekil terimlerdir.
'Tekil terim deyimi yerine 'ad' sözcüğünü de kullanıyoruz, örneğin, 'bu kalem deyimini belli bir kalemin adı, '3" sembolünü de belli bir sayının adı sayıyoruz. Bu gibi "değişmez" adların (veya değişmez tpkii terimlerin) yanı sıra, bir de "değişken" adlardan söz etmek mümkündür. Nitekim V, 'y',... gibi değişkenler belirli nesnelerin adı olmamakla birlikte. bir çok ayrı ayrı nesnenin (değerlerin) "cok-anlamlı" adı sayılabilir. Günlük dildeki zamirlerin bir bakıma değişken adlar durumunda olduğunu daha önce belirtmiştik.